數值計算作業：C 語言實作高斯消去法（不選主元與列主元）求解 84 階方程組

課程作業要求以 C 語言編寫通用程式，實作「不選主元」與「列主元」兩種高斯消去法，求解 84 階線性方程組，並將數值解與精確解比較分析誤差。本文提供演算法架構、關鍵程式碼片段與數值穩定性分析重點。

問題定義

• 方程組：A x = b，A 為 84×84 矩陣
• 需實作兩種演算法：
  1. 不選主元高斯消去法
  2. 列主元高斯消去法
• 輸出：數值解向量、與精確解的誤差（如 ||x_num - x_exact||_∞）

演算法核心步驟

1. 不選主元高斯消去法

for (k = 0; k < n-1; k++) {
    // 無主元選擇，直接使用 A[k][k] 作為主元
    if (fabs(A[k][k]) < EPS) { /* 處理零主元 */ }
    for (i = k+1; i < n; i++) {
        factor = A[i][k] / A[k][k];
        for (j = k+1; j < n; j++) A[i][j] -= factor * A[k][j];
        b[i] -= factor * b[k];
    }
}
// 回代
for (i = n-1; i >= 0; i--) {
    sum = b[i];
    for (j = i+1; j < n; j++) sum -= A[i][j] * x[j];
    x[i] = sum / A[i][i];
}

缺點：主元極小時，除法放大誤差，數值不穩定。

2. 列主元高斯消去法

for (k = 0; k < n-1; k++) {
    // 尋找第 k 列從 k 行到 n-1 行的最大絕對值
    max_row = k;
    max_val = fabs(A[k][k]);
    for (i = k+1; i < n; i++) {
        if (fabs(A[i][k]) > max_val) {
            max_val = fabs(A[i][k]);
            max_row = i;
        }
    }
    // 交換第 k 行與 max_row 行
    if (max_row != k) {
        swap_rows(A, k, max_row, n);
        swap(b[k], b[max_row]);
    }
    // 消去過程同不選主元
    ...
}

優點：主元最大化，抑制誤差擴大，數值穩定性顯著提升。

關鍵實作細節

• 動態記憶體配置：使用 malloc 配置 double **A、double *b、double *x，避免堆疊溢位。
• 精確解生成：依題目給定矩陣結構（如 Hilbert、Vandermonde 或特定條帶矩陣）計算理論解，或直接設定 x_exact = [1,1,...,1]^T 反推 b。
• 誤差範數：計算 max_i |x_num[i] - x_exact[i]|（無窮範數）或 sqrt(sum(...))（二範數）。
• 條件數估計：可選作業，計算 cond(A) = ||A|| * ||A^-1|| 分析問題敏感度。

預期結果分析

參考資源

CSDN 同類討論：高斯消去法 C 語言實作細節

學習重點總結

1. 理解主元選擇對數值穩定性的決定性影響。
2. 熟練雙重指標動態矩陣操作與列交換技巧。
3. 體會機器精度（DBL_EPSILON）在除法判斷中的角色。
4. 學會以誤差範數量化驗證演算法優劣。

完成此作業不僅能掌握經典數值線性代數演算法，更能建立「有限精度運算下誤差控制」的工程直覺，為後續科學計算打下堅實基礎。