數據庫範式判斷實戰：R(A,B,C) F={A→B, B→A, C→A} 範式分析

題目條件

• 關系模式：R(A, B, C)
• 函數依賴集：F = {A → B, B → A, C → A}

步驟一：求候選碼

計算各屬性集的閉包：

A⁺ = {A, B}  (A→B, B→A 形成循環)
B⁺ = {B, A}  (同理)
C⁺ = {C, A, B} = {A, B, C}  (C→A, A→B)
AB⁺ = {A, B}
AC⁺ = {A, B, C}
BC⁺ = {A, B, C}

候選碼：{C}、{A, C}、{B, C}（最小超鍵）

主屬性：A, B, C（全部屬性都包含在某個候選碼中）

非主屬性：無

步驟二：範式層層判定

1NF（第一范式）

✅ 滿足：假設關系模式中所有屬性均為不可分的基本數據項。

2NF（第二范式）

定義：無非主屬性對候選碼的部分函數依賴。

✅ 滿足：因無非主屬性，不存在部分函數依賴問題。
（即便有部分依賴，也只能是主屬性對候選碼的部分依賴，不違反 2NF）

3NF（第三范式）

定義：無非主屬性對候選碼的傳遞函數依賴。
等價條件：對 F 中每個非平凡函數依賴 X → Y，滿足 X 是超鍵，或 Y 是主屬性。

檢查 F 中每個 FD：

結論：滿足 3NF

BCNF（巴澤-科德範式）

定義：對 F 中每個非平凡函數依賴 X → Y，X 必須是超鍵。（比 3NF 更嚴格，不允許主屬性對非超鍵的依賴）

檢查：

• A → B：A 不是超鍵 ❌ 違反 BCNF
• B → A：B 不是超鍵 ❌ 違反 BCNF
• C → A：C 是超鍵 ✅

結論：不滿足 BCNF

最終答案

深度解析：為什麼有主屬性依賴非超鍵？

這是一個經典的主屬性對關鍵字部分依賴/傳遞依賴的例子：

• A 和 B 相互決定（A ↔ B），形成一個等價類
• C 決定 A（從而決定 B），C 是唯一能決定全部屬性的單屬性候選碼
• 但 A、B 作為主屬性，卻依賴於非超鍵（A 依賴 B，B 依賴 A）

分解建議（若需達到 BCNF）

-- 分解為兩個關系：
R1(A, B)  -- F1 = {A → B, B → A}  候選碼：{A}, {B}  → BCNF
R2(C, A)  -- F2 = {C → A}          候選碼：{C}        → BCNF

-- 自然連接 R1 ⋈ R2 可無損恢復原關系
-- 但分解後需注意：原 FD C→B 變為跨關系依賴，應用層需維護一致性

判斷口訣

一范式：看原子性（有無多值屬性）
二范式：看非主屬性是否部分依賴候選碼（無非主屬性直接過）
三范式：看非主屬性是否傳遞依賴候選碼（或：左邊非超鍵時右邊必須是主屬性）
BCNF：看所有決定因是否為超鍵（最嚴格，主屬性也不能依賴非超鍵）