墓地設計問題：連續正整數邊長正方形區域的組合求解

這是一道經典的數學/算法題：給定總墓穴數 n (1 <= n <= 10^14)，找出所有由連續正整數邊長的正方形區域組成的墓地設計。每個區域邊長為 s，包含 s^2 個墓穴，所有區域邊長互不相同且構成連續序列。輸出所有可能的設計方案，按區域數量降序排列。

問題建模

設連續邊長為 k, k+1, ..., k+l-1（共 l 個區域），則總墓穴數：

n = k^2 + (k+1)^2 + ... + (k+l-1)^2

利用平方和公式：

Σ_{i=0}^{l-1} (k+i)^2 = l*k^2 + k*l*(l-1) + (l-1)l(2l-1)/6

對於給定 l，可解一元二次方程求 k，判斷是否為正整數解。

算法思路

1. 枚舉區域數量 l。因為最小邊長至少為 1，最大 l 滿足 1^2+2^2+...+l^2 <= n，即 l(l+1)(2l+1)/6 <= n。對於 n <= 10^14，l 最大約 10^4 量級，可直接枚舉。
2. 對每個 l，由方程 l*k^2 + l(l-1)*k + (l-1)l(2l-1)/6 - n = 0 求解 k。
3. 判別式 Δ = l^2(l-1)^2 - 4*l*((l-1)l(2l-1)/6 - n) 需為完全平方數，且 k = (-l(l-1) + sqrt(Δ)) / (2l) 為正整數。
4. 收集所有合法 (l, k)，按 l 降序輸出。

樣例驗證

輸入 2030：

• l=4：k=21 → 21²+22²+23²+24² = 441+484+529+576 = 2030
• l=3：k=25 → 25²+26²+27² = 625+676+729 = 2030

輸出：

2
4 21 22 23 24
3 25 26 27

複雜度分析

枚舉 l 至 O(n^{1/3})，每步常數時間運算，總體極快，適合 n <= 10^14。

參考實現鏈接

詳細代碼與推導