數據庫關係代數與關係運算完整指南：並、差、交、笛卡爾積、選擇、投影、連接、除運算

數據庫關係代數與關係運算完整指南

關係代數是關係型資料庫理論基石，定義了對關係（表）進行操作的一組運算。分為傳統集合運算與專門關係運算兩大類。

一、傳統集合運算（前提：同目、同域）

二、專門關係運算前置符號

• R：關係模式 R(A1, A2, ..., An) 的一個關係實例
• t ∈ R：t 是 R 的一個元組
• t[Ai]：元組 t 在屬性 Ai 上的分量
• A = {Ai1, ..., Aik}：屬性組；t[A] 為投影；Ā 為補集屬性組
• tr ⌢ ts：元組連接，前 n 分量來自 R，後 m 分量來自 S
• Zx = { t[Z] | t ∈ R, t[X] = x }：x 在 R 中的象集

三、連接運算

1. θ-連接

R ⋈_θ S = { tr ⌢ ts | tr ∈ R ∧ ts ∈ S ∧ tr[A] θ ts[B] }
A, B 為度數相等且可比的屬性組；θ 為比較運算符

2. 等值連接

θ 為 =，從笛卡爾積中選取 A、B 屬性值相等的元組。

3. 自然連接

• 特殊等值連接：比較屬性組必須同名同域。
• 結果中去除重複屬性列（同時從行、列運算）。
• R ⋈ S = { tr ⌢ ts | tr ∈ R ∧ ts ∈ S ∧ tr[B] = ts[B] }

4. 外連接

• 左外連接：保留左關係被捨棄的元組，右側填 NULL。
• 右外連接：保留右關係被捨棄的元組，左側填 NULL。

四、除運算

給定 R(X, Y)、S(Y, Z)，Y 同域。R ÷ S 產生 P(X)：

R ÷ S = { tr[X] | tr ∈ R ∧ π_Y(S) ⊆ Yx }
Yx = { t[Y] | t ∈ R, t[X] = x } 為 x 的象集

直觀範例

R 中 a1 象集含 {(b1,c2), (b2,c3), (b2,c1)}，S 投影為 {(b1,c2), (b2,c1), (b2,c3)}。
只有 a1 的象集完全包含 S 的投影 → R ÷ S = {a1}。

五、選擇與投影（常用專門運算）

• 選擇 σ_F(R)：按條件 F 篩選元組（行運算）。
• 投影 π_A(R)：取指定屬性組 A（列運算，去重）。

掌握關係代數，是理解 SQL 執行計畫、優化查詢與資料庫理論研究的關鑰。