3D 數學基礎知識系統整理：座標系、向量、矩陣、變換與投影

前言

應論壇網友需求，整理 3D 圖形程式設計核心數學理論。內容偏理論，後續將補實例講解。歡迎指正補充。

三維座標系

將二維平面座標擴展至三維空間。點 (x,y,z) 齊次座標為 (nx,ny,nz,n) (n≠0)，標準化為 (x,y,z,1)。三維變換使用 4x4 矩陣。

常見座標系

• 右手座標系：符合數學慣例
• 左手座標系：符合電腦圖形學/日常習慣
• 兩者可任意旋轉，圖形幾何不變

四大空間

點與向量

• 點：特定座標系中指定位置，距原點距離隨座標系改變
• 向量：兩點差值，具大小與方向，不隨座標系改變
  V = P2 - P1 = (x2-x1, y2-y1, z2-z1)

向量運算

• 加法：V1+V2 = (V1x+V2x, V1y+V2y, V1z+V2z)
• 純量乘：aV = (aVx, aVy, aVz)
• 內積 (Dot)：V1·V2 = V1x*V2x + V1y*V2y + V1z*V2z
• 外積/叉積 (Cross)：

  V1×V2 = (V1y*V2z - V1z*V2y,
            V1z*V2x - V1x*V2z,
            V1x*V2y - V1y*V2x)
  = |Ux  Uy  Uz|
    |V1x V1y V1z|
    |V2x V2y V2z|

註：Ux,Uy,Uz 為 x,y,z 軸單位向量。程式設計中常用叉積計算法向量。

矩陣

矩陣為數值矩形陣列。方陣：行列數相同。行向量 [x y z]，列向量 [x;y;z]。

矩陣運算

• 加法：對應元素相加
• 純量乘：每元素乘純量
• 矩陣乘法：(AB)ij = Σ Aik * Bkj（不交換）

矩陣變換 (4x4 齊次座標)

平移

[x' y' z' 1] = [x y z 1] × |1 0 0 0|
                            |0 1 0 0|
                            |0 0 1 0|
                            |tx ty tz 1|

縮放

[x' y' z' 1] = [x y z 1] × |sx 0  0  0|
                            |0  sy 0  0|
                            |0  0  sz 0|
                            |0  0  0  1|

繞 X 軸旋轉 (α)

|1   0     0    0|
|0 cosα sinα  0|
|0 -sinα cosα 0|
|0   0     0   1|

繞 Y 軸旋轉

|cosα  0 -sinα 0|
|0     1   0    0|
|sinα  0 cosα  0|
|0     0   0    1|

繞 Z 軸旋轉

|cosα sinα 0 0|
|-sinα cosα 0 0|
|0     0    1 0|
|0     0    0 1|

反射 (鏡像/對稱變換)

• 相對反射軸：繞軸旋轉 180°
• 相對反射平面：

錯切

改變物體形狀。相對 X 軸：

|1   0   0 0|
|shY 1   0 0|
|shZ 0   1 0|
|0   0   0 1|

Y、Z 軸同理，對角線為 1，對應位置放剪切因子。

三維轉換三大類

1. 世界座標轉換：改變物體位置、大小、角度
2. 觀察座標轉換：決定觀察者位置與方向
3. 透視轉換：決定 3D 場景如何投影到 2D 平面 (視野範圍等)

投影變換

將 n 維點轉換為

• 投影中心 (Center of Projection)
• 投影平面 (Projection Plane) — 不經過中心
• 投影線：從中心向物體各點發射，與平面交點集合即為投影

透視投影

中心到平面距離有限，投影線發散。平行線若不平行投影平面，會匯聚於滅點。主滅點數 = 與投影平面相交座標軸數 (1~3)，分為一點/二點/三點透視。二點透視真實感強，廣用於建築、工程、廣告。

平行投影

中心在無窮遠，投影線平行。分類：

• 正投影：投影方向垂直平面。三視圖 (前/側/頂) 為標準正投影，保真長度角度。軸測正投影分等測/二測/三測，等測最常用。
• 斜投影：投影方向斜交平面。矩陣含方向分量 (Xd,Yd,Zd)。

總結

以上為 3D 程式設計常用核心數學。遺漏部分請查線性代數教材。有基礎者實踐輕鬆；無基礎者建議先閱 OpenGL 入門書上手較快。格式問題請見諒。