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PHP 實作簡單線性回歸：從核心算法到資料探勘工具完整指南

編輯：PHP 相關知識

簡介

簡單線性回歸是統計建模基礎，目標是從二維資料點 (X, Y) 中找到最佳擬合直線 y = mx + b。本文涵蓋核心數學、統計檢定、機率函數實作、圖表視覺化與完整資料探勘腳本。

核心數學原理

最小平方法

尋找斜率 m 與截距 b，使殘差平方和 (RSS) 最小化：

RSS = Σ(yi - (m·xi + b))²

解析解公式：

m = Σ((xi - x̄)(yi - ȳ)) / Σ((xi - x̄)²)
b = ȳ - m·x̄

統計檢定：T 檢定

計算 T 統計量判斷斜率是否顯著非零：

t = m / SE(m)

若 T 值大且 p-value 低（通常 < 0.05），拒絕虛無假設，認為線性模型顯著優於單純使用平均值預測。

PHP 核心類別實作

SimpleLinearRegression 類別

<?php
class SimpleLinearRegression {
    private $X, $Y;
    private $slope, $intercept;
    
    public function __construct(array $X, array $Y) {
        $this->X = $X;
        $this->Y = $Y;
        $this->calculate();
    }
    
    private function calculate() {
        $n = count($this->X);
        $sumX = array_sum($this->X);
        $sumY = array_sum($this->Y);
        $sumXY = 0;
        $sumX2 = 0;
        
        for ($i = 0; $i < $n; $i++) {
            $sumXY += $this->X[$i] * $this->Y[$i];
            $sumX2 += $this->X[$i] ** 2;
        }
        
        $xMean = $sumX / $n;
        $yMean = $sumY / $n;
        
        $this->slope = ($sumXY - $n * $xMean * $yMean) / ($sumX2 - $n * $xMean ** 2);
        $this->intercept = $yMean - $this->slope * $xMean;
    }
    
    public function getSlope() { return $this->slope; }
    public function getIntercept() { return $this->intercept; }
    public function predict($x) { return $this->slope * $x + $this->intercept; }
    
    // 更多統計方法：getRSquared(), getTStatistic(), getPValue() 等
}
?>

機率函數：Student T 分布實作

移植自 John Pezzullo 的 JavaScript 實作，封裝於 Distribution 類別：

<?php
class Distribution {
    // 共用數學計算
    private function doCommonMath($q, $i, $j, $b) {
        $zz = $z = 1;
        for ($k = $i; $k <= $j; $k += 2) {
            $zz = $zz * $q * $k / ($k - $b);
            $z += $zz;
        }
        return $z;
    }
    
    // T 分布累積機率
    public function getStudentT($t, $df) {
        $t = abs($t);
        $w = $t / sqrt($df);
        $th = atan($w);
        if ($df == 1) return 1 - $th / (M_PI / 2);
        $sth = sin($th); $cth = cos($th);
        if ($df % 2 == 1) {
            return 1 - ($th + $sth * $cth * $this->doCommonMath($cth*$cth, 2, $df-3, -1)) / (M_PI/2);
        } else {
            return 1 - $sth * $this->doCommonMath($cth*$cth, 1, $df-3, -1);
        }
    }
    
    // 反 T 分布（臨界值）
    public function getInverseStudentT($p, $df) {
        $v = $dv = 0.5; $t = 0;
        while ($dv > 1e-6) {
            $t = (1/$v) - 1; $dv /= 2;
            if ($this->getStudentT($t, $df) > $p) $v -= $dv;
            else $v += $dv;
        }
        return $t;
    }
}
?>

圖表視覺化：整合 JpGraph

使用 JpGraph 繪製散佈圖與回歸線：

<?php
require_once 'jpgraph/jpgraph.php';
require_once 'jpgraph/jpgraph_scatter.php';
require_once 'jpgraph/jpgraph_line.php';

$graph = new Graph(600, 400);
$graph->SetScale('linlin');
$graph->title->Set('線性回歸分析');
$graph->xaxis->SetTitle('X 軸');
$graph->yaxis->SetTitle('Y 軸');

// 散佈點
$sp = new ScatterPlot($slr->getY(), $slr->getX());
$sp->mark->SetType(MARK_FILLEDCIRCLE);
$sp->mark->SetFillColor('red');
$sp->SetColor('blue');

// 回歸線
$predY = array_map([$slr, 'predict'], $slr->getX());
$line = new LinePlot($predY, $slr->getX());
$line->SetColor('navy');
$line->SetWeight(2);

$graph->Add($sp);
$graph->Add($line);
$graph->Stroke('regression.png');
?>
<img src="regression.png" alt="回歸分析圖">

完整資料探勘腳本 (explore.php)

<?php
// 接收表單資料：X值、Y值、標題、信心區間等
if (isset($_POST['x_values'], $_POST['y_values'])) {
    $X = explode(',', $_POST['x_values']);
    $Y = explode(',', $_POST['y_values']);
    
    if (count($X) === count($Y)) {
        require_once 'SimpleLinearRegressionHTML.php';
        $slr = new SimpleLinearRegressionHTML($X, $Y, $_POST['conf_int']);
        
        echo "<h2>{$_POST['title']}</h2>";
        $slr->showTableSummary($_POST['x_name'], $_POST['y_name']);
        $slr->showAnalysisOfVariance();
        $slr->showParameterEstimates($_POST['x_name'], $_POST['y_name']);
        $slr->showFormula($_POST['x_name'], $_POST['y_name']);
        $slr->showRValues($_POST['x_name'], $_POST['y_name']);
        
        // 繪圖程式碼...
    }
} else {
    // 顯示輸入表單
}
?>