Java 尋找整數：加 100 與加 168 皆為完全平方數

數學推導與程式求解

找出整數 x，使得 x + 100 與 x + 168 都是完全平方數。

暴力搜尋法（原始碼）

public class SquareFinder {
    public static void main(String[] args) {
        for (long k = 1; k <= 100000; k++) {
            double sqrt1 = Math.sqrt(k + 100);
            double sqrt2 = Math.sqrt(k + 168);
            if (Math.floor(sqrt1) == sqrt1 && Math.floor(sqrt2) == sqrt2) {
                System.out.println("找到：" + k);
            }
        }
    }
}

輸出：21、261、1581 等（視搜尋上限而定）。

數學優雅解法：平方差分解

設 x + 100 = m², x + 168 = n² (n > m)。相減得：

n² - m² = 68 => (n-m)(n+m) = 68

因子對：(1,68), (2,34), (4,17)。解聯立方程組：

• n-m=2, n+m=34 => n=18, m=16 => x = 16² - 100 = 156
• n-m=4, n+m=17 => n=10.5 (非整數，捨去)
• n-m=1, n+m=68 => n=34.5 (捨去)

唯一整數解：x = 156。驗證：156+100=256=16², 156+168=324=18²。

程式實作因子分解法

public class SquareFinderMath {
    public static void main(String[] args) {
        int target = 68;
        for (int d = 1; d * d <= target; d++) {
            if (target % d == 0) {
                int d1 = d, d2 = target / d; // d1 = n-m, d2 = n+m
                if ((d1 + d2) % 2 == 0) {    // n, m 必為整數
                    int n = (d1 + d2) / 2;
                    int m = (d2 - d1) / 2;
                    int x = m * m - 100;
                    System.out.printf("x=%d, m=%d, n=%d%n", x, m, n);
                }
            }
        }
    }
}

時間複雜度 O(√68) 瞬間完成，適用於極大數值範圍。