Java 計算水仙花數（阿姆斯壯數）：三位數立方和等於自身

水仙花數（Narcissistic Number），又稱阿姆斯壯數，指三位數其各位數字立方和等於該數本身。例如：153 = 1³ + 5³ + 3³。本文提供 Java 實現，支持任意範圍查找。

核心算法

/**
 * 打印 [m, n] 範圍內的水仙花數
 * @param m 起始值（含）
 * @param n 結束值（含）
 */
public static void printNarcissistic(int m, int n) {
    for (int i = m; i <= n; i++) {
        // 分解百位、十位、個位
        int bai = i / 100;
        int shi = (i % 100) / 10;
        int ge  = i % 10;

        // 計算立方和（用整數運算避免浮點誤差）
        int sum = bai * bai * bai + shi * shi * shi + ge * ge * ge;

        if (i == sum) {
            System.out.println(i);
        }
    }
}

// 測試：標準三位數範圍
public static void main(String[] args) {
    printNarcissistic(100, 999);
    // 輸出：153, 370, 371, 407
}

泛化：N 位數阿姆斯壯數

廣義定義：N 位數的各位 N 次方和等於自身。

public static boolean isArmstrong(int num) {
    String s = String.valueOf(num);
    int n = s.length();
    int sum = 0;
    for (char c : s.toCharArray()) {
        int digit = c - '0';
        sum += Math.pow(digit, n);  // 或預計算 0-9 的 n 次方表
    }
    return sum == num;
}

// 查找 1000 以內所有阿姆斯壯數
for (int i = 1; i < 10000; i++) {
    if (isArmstrong(i)) System.out.println(i);
}
// 輸出：1-9, 153, 370, 371, 407, 1634, 8208, 9474

性能優化技巧

1. 預計算次方表：int[] pow = new int[10]; for(i=0;i<10;i++) pow[i]=i*i*i; 避免重複 Math.pow
2. 整數運算：三位數用 d*d*d 比 Math.pow(d,3) 快得多
3. 早期剪枝：最大三位數立方和 9³×3=2187，超過 999 無需檢查

數學背景

• 三位數水仙花數僅有 4 個：153, 370, 371, 407
• 四位數：1634, 8208, 9474
• 不存在 2 位水仙花數（最大 9²+9²=162 < 10）
• 證明：N 位數最大立方和 N×9^N，隨 N 增長最終小於 10^(N-1)

水仙花數是經典編程練習，考察位分解、循環控制、數學建模。擴展到 N 位數版本能訓練泛化思維與性能優化意識。