Java 遞歸繪製科赫雪花曲線（分形幾何）完整源碼與原理講解

分形與科赫曲線簡介

科赫曲線（Koch Curve）是典型分形圖形，又稱雪花曲線。構造規則：

1. 畫一線段，三等分。
2. 中間一段替換為向外的等邊三角形兩邊（移除底邊）。
3. 對每條新線段遞歸重複上述步驟。

遞歸深度越深，曲線越複雜，長度趨近無限，但面積有限。

核心遞歸算法

/**
 * 繪製科赫曲線
 * @param x1,y1 起點
 * @param x2,y2 終點
 * @param depth 遞歸深度（0 僅畫直線）
 */
public void drawKoch(int x1, int y1, int x2, int y2, int depth, Graphics g) {
    if (depth <= 0) {
        g.drawLine(x1, y1, x2, y2);
        return;
    }
    // 三等分點
    double x11 = (2 * x1 + x2) / 3.0;
    double y11 = (2 * y1 + y2) / 3.0;
    double x22 = (x1 + 2 * x2) / 3.0;
    double y22 = (y1 + 2 * y2) / 3.0;
    // 頂點（向外凸出 60 度）
    double x33 = (x11 + x22) / 2 - Math.sqrt(3) * (y11 - y22) / 2;
    double y33 = (y11 + y22) / 2 + Math.sqrt(3) * (x22 - x11) / 2;
    
    // 遞歸繪製四段
    drawKoch(x1, y1, (int)x11, (int)y11, depth - 1, g);
    drawKoch((int)x11, (int)y11, (int)x33, (int)y33, depth - 1, g);
    drawKoch((int)x33, (int)y33, (int)x22, (int)y22, depth - 1, g);
    drawKoch((int)x22, (int)y22, x2, y2, depth - 1, g);
}

完整可執行範例（Swing 視窗）

import javax.swing.*;
import java.awt.*;

public class KochSnowflake extends JPanel {
    private int depth = 4; // 遞歸深度
    
    @Override
    protected void paintComponent(Graphics g) {
        super.paintComponent(g);
        g.setColor(Color.BLUE);
        int w = getWidth(), h = getHeight();
        // 正三角形三邊
        int cx = w / 2, cy = h / 2;
        int size = Math.min(w, h) / 2;
        int x1 = cx, y1 = cy - size;
        int x2 = cx - (int)(size * Math.sqrt(3) / 2), y2 = cy + size / 2;
        int x3 = cx + (int)(size * Math.sqrt(3) / 2), y3 = cy + size / 2;
        
        drawKoch(x1, y1, x2, y2, depth, g);
        drawKoch(x2, y2, x3, y3, depth, g);
        drawKoch(x3, y3, x1, y1, depth, g);
    }
    
    // 上述 drawKoch 方法放這裡...
    
    public static void main(String[] args) {
        JFrame f = new JFrame("Koch Snowflake - Depth 4");
        f.setDefaultCloseOperation(JFrame.EXIT_ON_CLOSE);
        f.add(new KochSnowflake());
        f.setSize(800, 800);
        f.setLocationRelativeTo(null);
        f.setVisible(true);
    }
}

其他分形擴展

• 謝爾賓斯基三角形：遞歸繪製三個縮小一半的三角形。
• 分形樹：遞歸分叉，角度隨機產生自然感。
• 曼德博集合：複平面迭代 z = z^2 + c，著色呈現。

效能優化提示

1. 遞歸深度建議 ≤ 6，否則線段數呈指數增長（4^depth）。
2. 使用 Graphics2D 開啟抗鋸齒：g2.setRenderingHint(RenderingHints.KEY_ANTIALIASING, RenderingHints.VALUE_ANTIALIAS_ON)。
3. 大量線段可預先計算坐標存入 GeneralPath，一次 draw 減少繪圖呼叫。