Java 計算兩直線交點與三角形圓心、內心完整實作

幾何運算核心類別設計

本文展示如何使用 Java 實作平面幾何運算，包含點、線段類別，以及計算兩直線交點、三角形外心（圓心）與內心的完整演算法。

基礎類別：Point 與 Line

class Point {
    double x, y;
    public Point() { this.x = 0; this.y = 0; }
}

class Line {
    Point a, b;
    public Line() {
        this.a = new Point();
        this.b = new Point();
    }
}

一、計算兩直線交點

使用向量參數式方程求解，避免斜率不存在的問題：

Point intersection(Line u, Line v) {
    Point res = u.a;
    double t = ((u.a.x - v.a.x) * (v.b.y - v.a.y) - (u.a.y - v.a.y) * (v.b.x - v.a.x))
             / ((u.a.x - u.b.x) * (v.b.y - v.a.y) - (u.a.y - u.b.y) * (v.b.x - v.a.x));
    res.x += (u.b.x - u.a.x) * t;
    res.y += (u.b.y - u.a.y) * t;
    return res;
}

二、三角形外心（外接圓圓心）

外心是三邊中垂線交點。利用向量性質：
(GA + GB) · AB = 0 等同於 G 在 AB 中垂線上。

Point circumcenter(Point a, Point b, Point c) {
    Line u = new Line(), v = new Line();
    // AB 的中點
    u.a.x = (a.x + b.x) / 2;
    u.a.y = (a.y + b.y) / 2;
    // 中垂線方向向量：垂直於 AB
    u.b.x = u.a.x + (u.a.y - a.y);
    u.b.y = u.a.y - (u.a.x - a.x);
    
    // AC 的中點
    v.a.x = (a.x + c.x) / 2;
    v.a.y = (a.y + c.y) / 2;
    v.b.x = v.a.x + (v.a.y - a.y);
    v.b.y = v.a.y - (v.a.x - a.x);
    
    return intersection(u, v); // 兩中垂線交點即外心
}

三、三角形內心（內切圓圓心）

內心到三邊距離相等（半徑 r）。座標公式為邊長加權平均：

// 邊長
double a = distance(b, c); // BC
double b = distance(a, c); // CA
double c = distance(a, b); // AB

// 內心座標
double x = (a.x * a + b.x * b + c.x * c) / (a + b + c);
double y = (a.y * a + b.y * b + c.y * c) / (a + b + c);

推導原理：內心是角平分線交點，向量滿足 a·MA + b·MB + c·MC = 0，解得上述公式。
半徑可由海倫公式求面積 S，再用 r = 2S / (a+b+c) 計算。

向量證明摘要

設三角形 ABC，內心 O，邊長 a=BC, b=CA, c=AB。
證明 a·OA + b·OB + c·OC = 0：
利用角平分線定理與向量分解，可證明向量和為零向量，確立內心座標公式正確性。

應用建議

• 所有計算使用 double 保持精度
• 判斷平行線時需檢查分母是否接近零
• 可封裝為工具類 GeometryUtils 供專案複用