Java 平方根與立方根算法實現：牛頓迭代法原理與高精度代碼詳解

本文實現不依賴 Math.sqrt() 的平方根、立方根計算，基於牛頓迭代法（Newton-Raphson Method），支持任意精度與負數處理，附帶完整可運行代碼。

牛頓迭代法數學原理

求解 f(x) = 0 的根，迭代公式：x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)

• 平方根：解 x² - c = 0 → x_{n+1} = (x_n + c/x_n) / 2
• 立方根：解 x³ - c = 0 → x_{n+1} = (2x_n + c/x_n²) / 3（代碼採用等價變形）

核心代碼實現

public class Algorithms {
    /** 平方根：牛頓法迭代，精度 1e-15 */
    public static double sqrt(double c) {
        if (c < 0) return Double.NaN;
        double err = 1e-15;
        double t = c;
        while (Math.abs(t - c / t) > err * t) {
            t = (c / t + t) / 2.0;
        }
        return t;
    }

    /** 立方根：處理負數符號，同樣牛頓迭代 */
    public static double cbrt(double c) {
        boolean positive = c > 0;
        c = positive ? c : -c;
        double err = 1e-15;
        double t = c;
        while (Math.abs(t * t - c / t) > err * t) {
            t = (c / (t * t) + t) / 2.0; // 等價於 (2t + c/t²)/3
        }
        return positive ? t : -t;
    }

    public static void main(String[] args) {
        System.out.println("sqrt(4.0) = " + sqrt(4.0));   // 2.0
        System.out.println("cbrt(-27.0) = " + cbrt(-27.0)); // -3.0
    }
}

關鍵細節解析

擴展：任意 n 次方根

通用公式：x_{k+1} = ((n-1)x_k + c / x_k^{n-1}) / n。偶次方根需檢查 c >= 0，奇次方根同立方根處理符號。

性能對比

• JDK Math.sqrt() 為硬件指令優化，速度極快
• 純 Java 迭代約需 5-10 次循環收斂，適合教學、無標準庫環境、或需自定義精度場景