Java 浮點數深度解析：IEEE 754 標準與精度陷阱

浮點數儲存標準：IEEE 754

Java float（單精度）佔 4 位元組（32 位元），double（雙精度）佔 8 位元組（64 位元），均遵循 IEEE 754 標準。以 float 為例，位元配置如下：

• 符號位（1 bit）：第 31 位，0=正數，1=負數
• 指數位（8 bits）：第 23-30 位，採「超額碼」表示，偏移量 127
• 尾數位（23 bits）：第 0-22 位，隱含前導 1（正規化數），實際精度 24 位元

數值公式：(-1)^sign × 1.mantissa × 2^(exponent-127)

0.1 無法精確表示的實證

十進位 0.1 在二進位為無限循環小數：0.0001100110011...。以下程式驗證 float 實際儲存的位元模式：

public class FloatAnalysis {
    public static void main(String[] args) {
        float f = 0.1f;
        int bits = Float.floatToIntBits(f);
        System.out.println("0.1f 二進位: " + Integer.toBinaryString(bits));
        // 輸出: 111101110011001100110011001101
        
        // 手動重建驗證
        int sign = 0;
        int exponent = 123; // 123 - 127 = -4
        int mantissa = 0x4CCCCD; // 23 位尾數
        int reconstructed = (sign << 31) | (exponent << 23) | mantissa;
        System.out.println("重建結果: " + Integer.toBinaryString(reconstructed));
        // 兩者完全一致，證明 0.1 為近似值
    }
}

為何 0.5 可精確表示？

0.5 = 2^-1 = 1.0 × 2^-1，二進位科學標記法尾數為 1.0（小數點後全 0），指數 -1 + 127 = 126，完美符合 IEEE 754 格式，無任何捨入誤差。

精度陷阱與最佳實務

Java 相關 API 快速查詢

• Float.floatToIntBits() / Double.doubleToLongBits()：取得原始位元模式
• Float.intBitsToFloat() / Double.longBitsToDouble()：位元模式還原數值
• Math.ulp(x)：取得 x 的最小單位變化量（單位在最後一位）
• StrictMath：嚴格遵循 IEEE 754，跨平台結果一致

進階補充：Subnormal Numbers

當指數位全 0 時，表示「次正規數」，隱含前導 1 變為 0，允許表示比最小正規數更小的數值（逐漸下溢），犧牲精度換取範圍。Java Float.MIN_VALUE (1.4E-45) 即為最小次正規數，Float.MIN_NORMAL (1.17549435E-38) 為最小正規數。

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