C語言習題：尋找滿足完全平方數條件的整數

題目數學轉換

設該整數為 n：

• n + 100 = x²
• n + 268 = y² (100+168=268)
• 相減：y² - x² = 168 → (y-x)(y+x) = 168

暴力搜尋實作 (教學版)

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main(void) {
    for (long n = 1; n < 100000; n++) {
        long x = sqrt(n + 100);
        long y = sqrt(n + 268);
        if (x*x == n + 100 && y*y == n + 268)
            printf("%ld\n", n);
    }
    return 0;
}

輸出結果

21
261
1581

數學優化解法

因式分解 168 = 2³ × 3 × 7，列舉因子對 (d, 168/d) 同奇偶性者，解得 y = (d + 168/d)/2、x = (168/d - d)/2，再反推 n = x² - 100。僅需檢查少數因子對，效率大幅提升。

驗證

• 21 + 100 = 121 = 11²，21 + 268 = 289 = 17² ✓
• 261 + 100 = 361 = 19²，261 + 268 = 529 = 23² ✓
• 1581 + 100 = 1681 = 41²，1581 + 268 = 1849 = 43² ✓