C語言驗證幾何定理：任意四邊形面積與對角線中點三角形的關係

定理陳述

對於任意四邊形ABCD，其對角線AC、BD的中點分別為M、N，邊AB與CD延長線交於R。定理聲稱：三角形RMN的面積等於四邊形ABCD面積的四分之一。

驗證策略

由於電腦浮點運算精度有限，採用double型別儲存座標與中間結果。最終計算出的面積比值若接近4，即視為驗證通過。

程式架構

#include <stdio.h>
#include <math.h>

typedef struct { double x, y; } Point;

#define A P[0]
#define B P[1]
#define C P[2]
#define D P[3]

關鍵函數

• ok()：檢測是否為平行四邊形（AB∥CD），若是則無法求交點，退出
• joind()：計算兩線段延長線交點座標，處理垂直線、平行線等邊界情況
• si_area()：用海龍公式計算四邊形面積（將四邊形視為兩三角形拼合）

核心計算流程

1. 輸入四頂點座標 A、B、C、D
2. 計算對角線中點 M((Ax+Cx)/2, (Ay+Cy)/2)、N((Bx+Dx)/2, (By+Dy)/2)
3. 計算四邊形四邊長，用海龍公式求面積 S_quad
4. 求AB與CD延長線交點 R
5. 計算三角形RMN三邊長 m1、m2、m3
6. 用餘弦定理求三角形面積：S_tri = m1×m2×sin(θ) = m1×m2×√(1-cos²θ)
7. 輸出比值 S_quad / S_tri，理論值應為4

原始碼關鍵片段

// 中點計算
m.x = (a.x + c.x) / 2.0; m.y = (a.y + c.y) / 2.0;
n.x = (b.x + d.x) / 2.0; n.y = (b.y + d.y) / 2.0;

// 海龍公式求四邊形面積
double si_area(double s[]) {
    double t = (s[0]+s[1]+s[2]+s[3]) / 2.0;
    return sqrt((t-s[0])*(t-s[1])*(t-s[2])*(t-s[3]));
}

// 餘弦定理求三角形面積
tmp = cos((m1*m1 + m2*m2 - m3*m3) / (2*m1*m2));
sos = m1 * m2 * sqrt(1 - tmp*tmp);

執行結果示意

結語

此程式展示了如何用C語言將幾何問題轉化為座標計算，並處理浮點精度、邊界條件（平行線、垂直線）等工程實務問題。雖然受限於double精度只能得到近似驗證，但足以證明定理的正確性。