C 語言練習：階乘累加求和 1! + 2! + 3! + ... + n! (含溢出處理)

問題描述

計算階乘純加級數：f = 1! + 2! + 3! + ... + n!。與交替級數不同，此處無符號翻轉，單調遞增，溢出來得更快，更考驗類型選擇與邊界意識。

基礎實現

#include <stdio.h>

void f(int m);

int main() {
    int n;
    printf("請輸入一個數(不能太大): ");
    scanf("%d", &n);
    f(n);
    return 0;
}

void f(int m) {
    int i, j;
    int s = 1;
    int sum = 0;

    for (i = 1; i <= m; i++) {
        s = 1;
        for (j = 1; j <= i; j++) {
            s *= j;
        }
        sum += s;
        s = 1;
    }
    printf("%d\n", sum);
}

關鍵差異與風險分析

1. 無符號交替 → 更快溢出

交替級數中正負抵消延緩溢出，純加級數單調增長：

2. 必須升級 long long

void f_ll(int m) {
    long long fact = 1, sum = 0;
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        fact *= i;
        sum += fact;
    }
    printf("long long 結果: %lld\n", sum);  // 支持到 n=20
}

3. 雙層循環 → 單層遞推（關鍵優化）

原代碼 O(n²) 重複計算階乘，遞推版 O(n)：

// 原版：每次 i 重新算 i!，總操作 ~ n²/2 次乘法
// 優化版：fact 遞推，總操作 n 次乘法

工程化完整版：輸入驗證 + 類型自適應 + 溢出檢測

#include <stdio.h>
#include <limits.h>

void factorial_sum(int n) {
    if (n < 1) { printf("n 必須 ≥ 1\n"); return; }

    // 嘗試用 unsigned long long (0 ~ 1.84e19)，比 signed 多一倍範圍
    unsigned long long fact = 1, sum = 0;
    int overflow = 0;

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        // 溢出檢測：fact > ULLONG_MAX / i
        if (fact > ULLONG_MAX / i) {
            printf("在第 %d 階乘處溢出 (unsigned long long)\n", i);
            overflow = 1;
            break;
        }
        fact *= i;
        if (sum > ULLONG_MAX - fact) {
            printf("在第 %d 項累加處溢出\n", i);
            overflow = 1;
            break;
        }
        sum += fact;
    }

    if (!overflow) {
        printf("1!+2!+...+%d! = %llu\n", n, sum);
    } else {
        printf("建議使用大整數庫 (如 GMP) 計算更大 n\n");
    }
}

int main() {
    int n;
    printf("請輸入 n (1~20 建議): ");
    if (scanf("%d", &n) == 1) factorial_sum(n);
    return 0;
}

數學延伸：次階乘與應用

此級數無簡單閉式，但與次階乘 !n = n! Σ(-1)^k/k!、不完全伽馬函數 有關。工程應用見於排列組合計數、期望值計算等。

總結

階乘純加級數是「遞推優化、類型邊界、溢出防禦」的絕佳練習場。核心收穫：

• 識別 O(n²) → O(n) 遞推優化機會；
• 建立溢出敏感度：int 12!、long long 20!、double 170!；
• 養成「先檢測再運算」的防禦性編程習慣。