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均值不等式視覺化探究：冪平均數單調性的 Win32 GUI 實驗

編輯：關於C語言

數學背景

對正數數列 q₁, q₂, ..., qₙ，定義 冪平均數（廣義平均數）：

Mₓ = ( (q₁ˣ + q₂ˣ + ... + qₙˣ) / n )^(1/x) (x ≠ 0)

M₀ = (q₁ q₂ ... qₙ)^(1/n) (幾何平均數，x→0 極限)

均值不等式指出：x < y ⟹ Mₓ ≤ Mᵧ，等號僅當所有 qᵢ 相等時成立。特例：

M₋₁：調和平均數
M₀：幾何平均數
M₁：算術平均數
M₂：平方平均數（RMS）

當 x → -∞ 趨近最小值，x → +∞ 趨近最大值。

實驗程式：Win32 繪圖視覺化

程式隨機生成 1000 個 [100, 400) 區間整數，計算 x ∈ [-100, 100] 時的 Mₓ 並繪製曲線，同時標示最大值與最小值水平線。

核心繪圖邏輯


void draw(HDC hdc) {
    const int N = 1000;
    double q[N];
    srand((unsigned)time(0));
    for (int i = 0; i < N; i++) q[i] = rand() % 300 + 100;

    double maxv = q[0], minv = q[0];
    for (int i = 1; i < N; i++) {
        if (q[i] > maxv) maxv = q[i];
        if (q[i] < minv) minv = q[i];
    }
    // 畫最大/最小值參考線
    MoveToEx(hdc, -400+450, (int)-maxv+600, 0); LineTo(hdc, 400+450, (int)-maxv+600);
    MoveToEx(hdc, -400+450, (int)-minv+600, 0); LineTo(hdc, 400+450, (int)-minv+600);

    // x < 0
    for (int i = -100; i < 0; i++) {
        double sum = 0;
        for (int j = 0; j < N; j++) sum += pow(q[j], i);
        double y = pow(sum / N, 1.0 / i);
        Ellipse(hdc, i*4+450-2, (int)-y+600-2, i*4+450+2, (int)-y+600+2);
    }
    // x = 0 (幾何平均數)
    double y = 1;
    for (int i = 0; i < N; i++) y *= pow(q[i], 1.0/N);
    Ellipse(hdc, 450-4, (int)-y+600-4, 450+4, (int)-y+600+4);
    // x > 0
    for (int i = 1; i < 100; i++) {
        double sum = 0;
        for (int j = 0; j < N; j++) sum += pow(q[j], i);
        double y = pow(sum / N, 1.0 / i);
        Ellipse(hdc, i*4+450-2, (int)-y+600-2, i*4+450+2, (int)-y+600+2);
    }
}