ACM 題目解析：求數列的和（山東理工大學 1238）

題目描述

數列定義：首項為 n，後續各項為前一項的平方根。求前 m 項之和，精度保留小數點後兩位。n<10000, m<1000，多組測資直到 EOF。

範例

輸入：
81 4
2 2

輸出：
94.73
3.41

說明：
81, 9, 3, 1.732... → 和 ≈ 94.73
2, 1.414... → 和 ≈ 3.41

解法

直接模擬：sum = n; term = n; for i=1 to m-1: term = sqrt(term); sum += term;。m<1000 迴圈極小，無效能問題。

參考程式碼

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main() {
    int n, m;
    while (scanf("%d %d", &n, &m) != EOF) {
        double sum = n, term = n;
        for (int i = 1; i < m; ++i) {
            term = sqrt(term);
            sum += term;
        }
        printf("%.2f\\n", sum);
    }
    return 0;
}

關鍵點

• 使用 double 保證精度，sqrt 需 <math.h>，編譯時連結數學庫（-lm）。
• 輸出格式 %.2f 自動四捨五入至小數點後兩位。
• 輸入以 EOF 結束，while(scanf(...)!=EOF) 即可。

數學補充

此數列為 a_1 = n, a_{k+1} = sqrt(a_k)，即 a_k = n^{1/2^{k-1}}。當 k 趨大，項值趨近 1（若 n>0）。前 m 項和無簡單閉式，逐項疊加最直接。