趣味數學遊戲：用最少數字組合表示連續自然數與切金條問題

趣味數學遊戲：用最少數字組合表示連續自然數與切金條問題

問題 1：三個數

僅用加法組合 a,b,c 表示從 1 開始的連續最大 N。最優解：1, 2, 4（2 的冪次），可表示 1~7（和為 7）。

問題 2：四個數

最優解：1, 2, 4, 8，可表示 1~15。

問題 3：N 個數

通項：2^0, 2^1, ..., 2^{N-1}。可表示 1 ~ 2^N - 1。
證明：數學歸納法。前 N-1 項和為 2^{N-1}-1，加上第 N 項 2^{N-1}，新增範圍恰好銜接。

切金條問題

7 cm 金條，每天付 1 cm，最少切幾刀？
按二進制拆分：1, 2, 4（切 2 刀得 3 段）。
第1天給1，第2天收1給2，第3天給1（共3），第4天收1,2給4，第5天給1（共5），第6天給2（共6），第7天給1（共7）。
15 cm 同理切成 1,2,4,8（3 刀）。