您现在的位置：程式碼之家 >> 編程語言 > >> C語言 >> 關於C語言

C語言計算圓周率：萊布尼茨級數實現與精度分析

編輯：關於C語言

萊布尼茨級數求 π 原理

題目給出的公式：

π = 4 × (1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ... + 1/(4n-3) - 1/(4n-1))

這是著名的 萊布尼茨級數（Leibniz formula for π），屬於格雷戈里級數的特例：

arctan(x) = x - x³/3 + x⁵/5 - x⁷/7 + ...

令 x = 1，得 arctan(1) = π/4，即上述級數。

代碼實現與改進

原始代碼分析

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main(void) {
    double a = 0, b = 1;
    int i;
    for (i = 1; i < 100000; i++) {
        b = pow(-1, i + 1) / (2 * i - 1);
        a += b;
    }
    printf("%lf\n", 4 * a);
    return 0;
}

存在的問題

pow(-1, i+1) 極其低效：浮點冪運算開銷大，且引入浮點誤差
符號翻轉可用整數邏輯 sign = -sign 實現
分母 2*i-1 可遞推計算，避免乘法
未檢查收斂精度，固定迭代次數

優化版實現

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main(void) {
    double pi = 0.0;
    double denominator = 1.0;
    int sign = 1;
    const double EPS = 1e-15;  // 雙精度極限約 1e-15

    for (int i = 0; ; ++i) {
        double term = sign / denominator;
        pi += term;
        
        if (fabs(term) < EPS) break;  // 項值小於精度閾值停止
        
        denominator += 2.0;
        sign = -sign;
    }

    printf("π ≈ %.15f\n", 4 * pi);
    printf("M_PI = %.15f\n", M_PI);  // math.h 中定義的常量
    printf("誤差 = %.2e\n", fabs(4 * pi - M_PI));
    
    return 0;
}

收斂速度分析

萊布尼茨級數收斂極慢（對數級）：

獲得雙精度（~15 位）需約 10¹⁵ 項，完全不可行。

更優算法推薦

馬欽公式：π/4 = 4·arctan(1/5) - arctan(1/239)，收斂快得多
查德諾夫斯基算法：現代計算 π 記錄保持者，每項增加 ~14 位精度
AGM（算術-幾何平均）：二次收斂，Gauss-Legendre 算法
蒙特卡洛法：概率估算，教學演示用

馬欽公式 C 實現片段

double arctan_series(double x, double eps) {
    double term = x, sum = x;
    double x2 = x * x;
    int n = 1;
    while (fabs(term) > eps) {
        term *= -x2 * (2*n-1) / (2*n+1);
        sum += term;
        n++;
    }
    return sum;
}

// π = 16*arctan(1/5) - 4*arctan(1/239)
double pi = 16 * arctan_series(1.0/5, 1e-15) - 4 * arctan_series(1.0/239, 1e-15);

理解級數收斂特性，選擇適合精度需求的算法，是數值計算的基本功。