原碼、反碼、補碼核心原理：為何計算機選擇補碼？

原碼、反碼、補碼核心原理：為何計算機選擇補碼？

本文轉載自張子秋博客，系統闡述機器數/真值概念、三碼定義與轉換、原碼減法失敗、反碼解決減法但引入 ±0、補碼完美修復並多表示一個最小值的演進邏輯，是理解計算機算術基礎的經典教材。

一、機器數與真值

• 機器數：帶符號位的二進制編碼，最高位 0 正 1 負。
  例：+3 → 00000011，-3 → 10000011（8 位）。
• 真值：機器數代表的實際數值。
  例：10000011 真值 = -3，而非無符號值 131。

二、三碼定義（8 位示例）

規則：正數三碼同；負數原碼=符號位+絕對值；反碼=原碼符號位不變其餘取反；補碼=反碼+1。

三、演進邏輯：從原碼到補碼

1. 原碼缺陷：符號位參與加法導致減法錯誤

1 - 1 = 1 + (-1)
原碼：[00000001] + [10000001] = [10000010] = -2 ❌

硬體若需識別符號位再決加減，電路極其複雜。

2. 反碼修正減法，但出現 ±0

反碼：[00000001] + [11111110] = [11111111] = -0 ❌

真值正確，但 +0=[00000000]、-0=[10000000] 兩編碼浪費且邏輯不清。

3. 補碼完美解決：唯一 0 + 多表示 -128

補碼：[00000001] + [11111111] = [00000000] = 0 ✅

• 00000000 唯一表示 0。
• 10000000 表示 -128（原/反碼無法表示）。
• 8 位補碼範圍 [-128, +127]，比原/反碼 [-127, +127] 多一值。

四、32 位 int 範圍由來

• 最高位符號位，剩 31 位數值。
• 補碼編碼下範圍 [-2³¹, 2³¹-1] = [-2147483648, 2147483647]。
• 最小值 -2147483648 對應補碼 0x80000000，無原/反碼表示。

五、原文鏈接

https://www.cnblogs.com/zhangziqiu/archive/2011/03/30/ComputerCode.html

六、總結

補碼基於模運算同餘原理，將減法轉為加法，解決符號位硬體複雜度與 ±0 編碼浪費，成為通用計算機算術標準。理解此演進過程，是掌握計算機組成原理的關鍵一步。