C語言經典數學題：汽水換購問題（20元最多喝幾瓶）

C語言經典數學題：汽水換購問題（20元最多喝幾瓶）

每瓶汽水 1 元，2 個空瓶換 1 瓶。20 元最多能喝幾瓶？

數學建模

初始：money=20, total=20, empty=20
循環：用空瓶換新瓶 → 喝掉 → 產生新空瓶
關鍵：每 2 空瓶換 1 瓶，喝完又得 1 空瓶，實際每喝 1 瓶「消耗」1 空瓶

遞歸關係

f(empty) = 0                    if empty < 2
f(empty) = empty/2 + f(empty/2 + empty%2)  otherwise

迭代實現（原文版本）

#include <stdio.h>
#define MAX 20

int main() {
    int money = MAX;
    int total = MAX;
    int empty = MAX;
    
    while (empty >= 2) {
        int new_bottles = empty / 2;
        total += new_bottles;
        empty = new_bottles + empty % 2;  // 新空瓶 + 剩餘空瓶
    }
    
    printf("最多能喝 %d 瓶\n", total);
    return 0;
}

運行過程追蹤 (20元)

初始：喝20瓶，空瓶20
第1輪：20空瓶換10瓶，喝10，總30，空瓶10
第2輪：10空瓶換5瓶，喝5，總35，空瓶5
第3輪：5空瓶換2瓶(剩1)，喝2，總37，空瓶3(2+1)
第4輪：3空瓶換1瓶(剩1)，喝1，總38，空瓶2(1+1)
第5輪：2空瓶換1瓶，喝1，總39，空瓶1
結束：空瓶<2，無法再換
答案：39瓶

通用公式

若 n 元，2 空瓶換 1 瓶，最大飲用量 = 2n - 1（當 n 為 2 的冪次時精確，其它情況略小）。
20 元 → 39 瓶。

擴展：3 空瓶換 1 瓶

int max_drink(int money, int exchange_rate) {
    int total = money;
    int empty = money;
    while (empty >= exchange_rate) {
        int new_b = empty / exchange_rate;
        total += new_b;
        empty = new_b + empty % exchange_rate;
    }
    return total;
}