前言：浮點數不是「近似值」，是「編碼規範」
C 語言 `float`（單精度，32 位）與 `double`（雙精度，64 位）嚴格遵循 **IEEE 754** 標準（舊稱 IEEE R32.24 / R64.53）。理解其位級佈局，是掌握精度損失、特殊值（NaN/Inf）、類型轉換行為的鑰匙。
位域結構對比
| 字段 | float (32-bit) | double (64-bit) |
|---|
| 符號位 (Sign) | 1 bit (bit 31) | 1 bit (bit 63) |
| 指數位 | 8 bits (bit 30-23) | 11 bits (bit 62-52) |
| 尾數/有效位 | 23 bits (bit 22-0) | 52 bits (bit 51-0) |
| 偏移量 | 127 | 1023 |
數值解碼公式
Value = (-1)^Sign × 1.Mantissa × 2^(Exponent - Bias)
- **規格化數**：指數位不全 0/全 1。隱含前導 1（`1.M`）。
- **非規格化數**：指數位全 0。無隱含 1（`0.M`），指數固定為 `1-Bias`，表示極小值漸進下溢。
- **特殊值**：指數位全 1。尾數 0 → ±Infinity；尾數非 0 → NaN。
實例：`float f = 2.25f` 的內存佈局
- 二進制：`2.25 = 10.01₂ = 1.001₂ × 2¹`
- 符號位：`0`（正數）
- 指數：`1 + 127 = 128 = 10000000₂`
- 尾數：`001` + 20 個 0 → `00100000000000000000000`
- 完整 32 位：`0 10000000 00100000000000000000000` = `0x40100000`
工程啟示
- 精度邊界：`float` 約 7 位十進制有效數字，`double` 約 15 位。超出即丟失精度。
- 比較陷阱：絕不直接 `==` 比較浮點數，使用 `fabs(a-b) < epsilon`。
- 類型懲罰：`float` 參與運算常隱式提升為 `double`，存回又截斷，產生雙重誤差。
- 位操作調試：用 `union { float f; uint32_t u; }` 直接檢視位模式，定位 NaN/Inf 來源。
掌握 IEEE 754，讓浮點數從「不可控的黑盒」變為「可預測的工程工具」。
