在程式設計中，判斷一個正整數 x 是否為 2 的冪次方（即 2n）是一個經典問題。最優雅且高效的解法莫過於位運算表達式：x & (x - 1) == 0。若結果為真，則 x 是 2 的冪次方；否則不是。這個技巧廣泛應用於演算法優化、記憶體對齊檢查等場景。
一個正整數是 2 的冪次方，當且僅當其二進制表示中有且僅有一個 1，其餘皆為 0。例如：
1101001000反之，若非 2 的冪次方，其二進制中至少包含兩個 1。
x & (x - 1) 能判斷？x - 1 運算會將 x 二進制中最右邊的 1 變為 0，並將該 1 右側的所有 0 變為 1。例如：
x = 8 (1000)，x - 1 = 7 (0111)x = 12 (1100)，x - 1 = 11 (1011)若 x 僅有一個 1（即 2 的冪次方），則 x & (x - 1) 的所有位都為 0，結果為 0。若 x 有多個 1，則最高位的 1 仍保留在結果中，結果非 0。
許多教程只證明「2 的冪次方滿足條件」，卻忽略了逆命題。以下補充完整證明：
X 的二進制為 x₁x₂...xₙ（x₁=1，n>0）。X 是 2 的冪次方 ⇔ 二進制中有且僅有一個 1（即 x₁=1，x₂=...=xₙ=0）。X 不是 2 的冪次方 ⇔ 存在 j (1 使 xⱼ=1。 X = 1 時：1 & 0 = 0，成立。X > 1 時：X = 100...0（n-1 個 0），X-1 = 11...1（n-1 個 1）。按位與運算結果全為 0。分兩種情況討論：
X-1 將最低位變 0，高位不變。按位與運算保留高位的 1，結果非 0。j 位。X-1 將該 1 變 0，右側 0 變 1。按位與運算中，第 j 位變 0，但更高位的 1 保留，結果非 0。bool isPowerOfTwo(int x) {
return x > 0 && (x & (x - 1)) == 0;
}
注意：必須檢查 x > 0，因為 0 和負數不符合定義，且 0 & -1 = 0 會誤判。
& (size-1) 替代取模運算，前提是 size 為 2 的冪次方。這個技巧展示了位運算在演算法設計中的威力：以 O(1) 時間、無分支指令完成判斷，是系統級程式設計的必備技能。
