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1000×1000 矩陣乘法優化：分塊算法對比 MATLAB 性能分析

編輯：關於C++

基準代碼：分塊矩陣乘法

const int m = 1000;
double *A = new double[m*m], *B = new double[m*m], *C = new double[m*m];
// 初始化為 1
for (int i = 0; i < m*m; ++i) { A[i] = 1; B[i] = 1; C[i] = 0; }

const int BF = 48;  // 分塊因子，可調優化
for (int jj = 0; jj < m; jj += BF)
    for (int kk = 0; kk < m; kk += BF)
        for (int i = 0; i < m; ++i) {
            int minj = min(jj + BF, m);
            int im = i * m;
            int mink = min(kk + BF, m);
            for (int j = jj; j < minj; ++j) {
                double r = 0;
                for (int k = kk; k < mink; ++k)
                    r += A[im + k] * B[k*m + j];
                C[im + j] += r;
            }
        }
delete[] A; delete[] B; delete[] C;

性能現狀

該實現比 MATLAB 慢 1 倍（約 2x 時間）。
網上 Fortran 分塊 dgemm 比 MATLAB 慢 0.5 倍（1.5x 時間）。
目標：達到 MATLAB 同級性能（調用 Intel MKL/OpenBLAS 高度優化內核）。

關鍵優化方向

優化點	說明	預期收益
緩存友好訪問	B 矩陣按列訪問導致缺失，需轉置或塊內連續訪問	高
SIMD 向量化	編譯器自動向量化需簡單循環，或手寫 AVX/SSE 內聯匯編	高
寄存器分塊	內層循環展開，多累加器隱藏延遲（如 4×4 微內核）	高
多線程並行	OpenMP 外層循環並行，NUMA 感知內存分配	線性擴展
預取指令	__builtin_prefetch 或硬件預取友好訪問模式	中
調用優化庫	直接鏈接 OpenBLAS/MKL/BLIS 的 `cblas_dgemm`	最高（專家調優）

改進版雛形（單線程 + 緩存優化）

// 預轉置 B 矩陣，實現連續訪問
double *BT = new double[m*m];
for (int i = 0; i < m; ++i)
    for (int j = 0; j < m; ++j)
        BT[j*m + i] = B[i*m + j];

for (int jj = 0; jj < m; jj += BF)
    for (int kk = 0; kk < m; kk += BF)
        for (int i = 0; i < m; ++i) {
            int im = i * m;
            int minj = min(jj + BF, m);
            int mink = min(kk + BF, m);
            for (int j = jj; j < minj; ++j) {
                double r = 0;
                int jm = j * m;  // BT 行首
                for (int k = kk; k < mink; ++k)
                    r += A[im + k] * BT[jm + k];  // 連續訪問
                C[im + j] += r;
            }
        }
delete[] BT;

工程建議

生產環境直接用 OpenBLAS/MKL：cblas_dgemm(CblasRowMajor, CblasNoTrans, CblasNoTrans, m, m, m, 1.0, A, m, B, m, 0.0, C, m);
自研教學/嵌入式無庫環境：參考 BLIS 框架實現微內核 + 多層分塊 + 多線程。
分塊因子 BF 需根據 L1/L2 緩存大小經驗調整（典型 32-128）。
編譯旗標：-O3 -march=native -ffast-math -funroll-loops（GCC/Clang），/O2 /arch:AVX2（MSVC）。
性能分析工具：perf、VTune、gprof 定位熱點與缺失。