MyMathLib 系列：行列式計算與向量組極大線性無關組求解

行列式降階法與方程組消元

本文介紹 MyMathLib 中的核心算法：基於高斯消元法的行列式計算、方程組求解、矩陣秩計算，以及向量組的極大線性無關組判定。

1. 方程組消元算法

將增廣矩陣轉化為階梯形矩陣，通過行變換消去下三角元素。改進點：使用整數乘法避免浮點誤差，即對第 j 行執行 Row_j = Row_j * a_{j-1,i} - Row_{j-1} * a_{j,i}，保持數值精度。

public static void EquationsElimination(decimal[,] CoefficientDeterminant) {
    int rowCount = CoefficientDeterminant.GetLength(0);
    int colCount = CoefficientDeterminant.GetLength(1);
    int theE = colCount - 1; // 最後一列為常數項
    for (int i = 0; i < theE; i++) {
        for (int j = rowCount - 1; j > 0; j--) {
            if (CoefficientDeterminant[j, i] == 0) continue;
            // 檢查上一行左側是否全零，決定是否交換行
            bool canSwap = true;
            for (int s = i - 1; s >= 0; s--) {
                if (CoefficientDeterminant[j-1, s] != 0) { canSwap = false; break; }
            }
            if (canSwap && CoefficientDeterminant[j-1, i] == 0) {
                // 交換整行（含常數項）
                for (int k = 0; k <= theE; k++) {
                    var tmp = CoefficientDeterminant[j, k];
                    CoefficientDeterminant[j, k] = CoefficientDeterminant[j-1, k];
                    CoefficientDeterminant[j-1, k] = tmp;
                }
            } else {
                // 整數乘法消元
                var rate1 = CoefficientDeterminant[j-1, i];
                var rate2 = CoefficientDeterminant[j, i];
                for (int k = 0; k <= theE; k++) {
                    CoefficientDeterminant[j, k] = CoefficientDeterminant[j, k] * rate1 - CoefficientDeterminant[j-1, k] * rate2;
                }
            }
        }
    }
}

2. 向量組極大線性無關組

利用消元法判斷向量線性相關：構造方程組，若係數矩陣秩等於增廣矩陣秩，則線性相關。依次檢查每個向量是否能由前面的極大線性無關組線性表出，若不能則加入極大組。

public static List GetMaxLinearIndependentGroup(decimal[,] Vectors) {
    List result = new List();
    for (int i = 0; i < Vectors.GetLength(0); i++) {
        var vec = GetRowVector(Vectors, i);
        if (!IsLinearCorrelation(vec, result)) {
            result.Add(vec);
        }
    }
    return result;
}

應用場景

• 線性代數教學輔助工具
• 矩陣秩、行列式、線性方程組求解
• 向量空間基底計算

完整代碼包含矩陣操作、向量判零、線性相關判定等輔助方法，採用 C# 實現，註釋詳細，適合學習參考。