UVA 11346：Probability - 幾何概率與積分求解

問題描述

點 L(X, Y) 在矩形 [-a, a] × [-b, b] 中均勻隨機選取。求由原點與 L 為對角頂點的矩形面積 > S 的概率。

即求 P(|X| * |Y| > S)，其中 X ∈ [-a, a], Y ∈ [-b, b] 均勻分布。

數學推導

由對稱性，僅考慮第一象限 X ∈ [0, a], Y ∈ [0, b]，總面積 4ab。條件 X*Y > S 對應雙曲線 Y > S/X 上方區域。

當 S ≥ a*b 時，概率為 0；當 S = 0 時，概率為 1。

一般情況下，有效面積為：

Area = 4 * ∫_{x=S/b}^{a} (b - S/x) dx （注意積分下限 max(S/b, 0)）

計算得：

Area = 4 * [ a*b - S - S * ln(a*b / S) ]

概率 P = 1 - Area / (4ab)。

代碼實現

#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {
    int T; scanf("%d", &T);
    while (T--) {
        double a, b, S;
        scanf("%lf%lf%lf", &a, &b, &S);
        if (S == 0) { printf("100.000000%%\n"); continue; }
        if (a * b <= S) { printf("0.000000%%\n"); continue; }

        double area = S * (1 + log(a * b / S)); // ∫(b - S/x)dx = b*x - S*ln x
        area = 4 * (a * b - area);
        double prob = 1.0 - area / (4 * a * b);
        printf("%.6f%%\n", prob * 100);
    }
    return 0;
}

關鍵點

• 利用對稱性簡化積分區域。
• 對數函數 log 在 C++ 中為自然對數 ln。
• 邊界情況 S=0、S ≥ ab 需單獨判斷避免數學錯誤。

總結

本題將幾何概率轉化為定積分計算，核心是識別雙曲線 xy=S 與矩形的交互關係，並正確設置積分限。