LeetCode 62：不同路徑——動態規劃與空間優化

題目描述

機器人從 m×n 網格左上角走到右下角，每步只能向右或向下，求不同路徑總數。m,n ≤ 100。

DP 狀態定義

dp[i][j] 表示到達 (i,j) 的路徑數。轉移方程：

dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]

邊界：第一行、第一列全為 1。

二維 DP 實現

int uniquePaths(int m, int n) {
    vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 1));
    for (int i = 1; i < m; ++i)
        for (int j = 1; j < n; ++j)
            dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
    return dp[m-1][n-1];
}

空間優化：一維滾動數組

第 i 行只依賴第 i-1 行（同數組上一值）和當前行左側（數組前一值）：

int uniquePaths(int m, int n) {
    vector<int> dp(n, 1);
    for (int i = 1; i < m; ++i)
        for (int j = 1; j < n; ++j)
            dp[j] += dp[j-1];
    return dp[n-1];
}

數學組合解法 O(min(m,n))

本質是從 m+n-2 步中選 m-1 步向下（或 n-1 步向右）：

C(m+n-2, m-1) = (m+n-2)! / ((m-1)! (n-1)!)

用 64 位整數迭代計算避免溢出：

long long ans = 1;
for (int i = 1; i <= m-1; ++i)
    ans = ans * (n - 1 + i) / i;

複雜度對比