BZOJ 2946 [Poi2000] 公共子串 — 後綴自動機 (SAM) 多字串匹配 O(總長度) 解法

題目大意

給定 n 個字串 (n ≤ 5，總長度 ≤ 10000)，求它們的**最長公共子串**長度。

後綴自動機 (SAM) 核心特性

• 線性構建 O(|S|)，狀態數 ≤ 2|S|。
• 每個狀態對應一組 **endpos 等價類** 的子串，長度區間 [min_len, max_len]。
• 父鏈 (link) 構成長度遞減的樹。

多字串公共子串策略

1. 用**第一個字串**建立 SAM。
2. 對其餘每個字串，在 SAM 上匹配，記錄每個狀態在該字串中**匹配到的最大長度** match_len[state][k]。
3. 某狀態對所有字串的公共子串長度 = min_k match_len[state][k] (受限於最短匹配)。
4. 答案 = 所有狀態的 min_k match_len 的最大值。

關鍵技巧：匹配長度傳播

匹配時只能直接更新當前狀態。需沿父鏈向上傳播：
for (p = cur; p; p = p->link) p->match_len[k] = max(p->match_len[k], min(cur_len, p->max_len))

因為若長度 L 在狀態 cur 匹配，則其所有後綴 (父鏈祖先) 也匹配長度 ≤ min(L, ancestor.max_len)。

完整 C++ 實作

#include 
using namespace std;

struct SAM {
    struct State {
        int next[26]{};
        int link = -1;
        int len = 0;
        int match_len[6]{};  // n ≤ 5, 索引 1..n
    };
    vector st;
    int last = 0;
    
    SAM(int maxlen = 0) { st.reserve(2 * maxlen); st.push_back(State()); }
    
    void extend(int c) {
        int cur = st.size();
        st.push_back(State());
        st[cur].len = st[last].len + 1;
        int p = last;
        while (p != -1 && !st[p].next[c]) {
            st[p].next[c] = cur;
            p = st[p].link;
        }
        if (p == -1) {
            st[cur].link = 0;
        } else {
            int q = st[p].next[c];
            if (st[p].len + 1 == st[q].len) {
                st[cur].link = q;
            } else {
                int clone = st.size();
                st.push_back(st[q]);  // 複製 q
                st[clone].len = st[p].len + 1;
                while (p != -1 && st[p].next[c] == q) {
                    st[p].next[c] = clone;
                    p = st[p].link;
                }
                st[q].link = st[cur].link = clone;
            }
        }
        last = cur;
        st[cur].match_len[1] = st[cur].len;  // 第一個字串自身完全匹配
    }
    
    void match_string(const string& s, int idx) {
        int p = 0, l = 0;
        for (char ch : s) {
            int c = ch - 'a';
            while (p && !st[p].next[c]) {
                p = st[p].link;
                l = st[p].len;
            }
            if (st[p].next[c]) {
                p = st[p].next[c];
                l++;
            }
            // 傳播匹配長度
            for (int v = p; v; v = st[v].link) {
                st[v].match_len[idx] = max(st[v].match_len[idx], min(l, st[v].len));
            }
        }
    }
    
    int solve(int n) {
        int ans = 0;
        for (auto& state : st) {
            int mn = INT_MAX;
            for (int i = 1; i <= n; i++) mn = min(mn, state.match_len[i]);
            ans = max(ans, mn);
        }
        return ans;
    }
};

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    
    int n;
    cin >> n;
    string s;
    cin >> s;
    
    SAM sam(s.size());
    for (char c : s) sam.extend(c - 'a');
    
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        cin >> s;
        sam.match_string(s, i);
    }
    
    cout << sam.solve(n) << '\n';
    return 0;
}

複雜度分析

• 構建 SAM：O(|S₁|)
• 匹配其餘字串：O(Σ|Sᵢ|) — 每字元最多沿父鏈跳轉常數次 (摊還 O(1))。
• 總時間：O(總長度) ≤ 20000 操作，極快。
• 空間：O(|S₁|) 狀態數 ≤ 2|S₁|。

關鍵細節總結

SAM 精髓：線性構建、父鏈樹結構、endpos 等價類。多字串公共子串是 SAM 經典應用之一，「在第一字串 SAM 上跑其餘字串、父鏈傳播匹配長度、取 min 再 max」是固定套路，熟練掌握可秒殺同類題目。