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UVA 11796：兩條狗的行走路徑最遠與最近距離

編輯：關於C++

問題描述

給定兩條狗的行走路線（各自由一系列點構成的折線），兩狗同時出發、同時到達，且速度均勻。求它們在行走過程中的最遠距離與最近距離之差。

解題思路

將問題轉化為相對運動：固定其中一條狗（視為靜止），另一條狗做相對運動。由於兩狗速度恆定，每一對應線段上的相對運動也是勻速直線運動。因此，在每一對線段的時間重疊區間內，兩狗距離是一個二次函數，其極值只可能出現在區間端點或垂足處（若垂足在線段內）。

具體做法：雙指針遍歷兩條折線的線段，計算當前線段對的時間區間，將相對運動轉化為點到線段距離問題。最小距離為點到線段距離，最大距離為點到線段兩端點距離的最大值。累積全局最小與最大距離，最後輸出差值。

關鍵幾何公式

向量運算：加減、數乘、點積、叉積、模長。
點到線段距離：若投影在線段內，距離為叉積絕對值除以線段長；否則為到端點的最小距離。

代碼實現 (C++)

#include 
using namespace std;
const double EPS = 1e-8;
int dcmp(double x) { return (x > EPS) - (x < -EPS); }

struct Point {
    double x, y;
    Point() {}
    Point(double _x, double _y) : x(_x), y(_y) {}
    void read() { scanf("%lf%lf", &x, &y); }
};

typedef Point Vector;
Vector operator+(Vector a, Vector b) { return Point(a.x+b.x, a.y+b.y); }
Vector operator-(Vector a, Vector b) { return Point(a.x-b.x, a.y-b.y); }
Vector operator*(Vector a, double k) { return Point(a.x*k, a.y*k); }
Vector operator/(Vector a, double k) { return Point(a.x/k, a.y/k); }

double dot(Vector a, Vector b) { return a.x*b.x + a.y*b.y; }
double cross(Vector a, Vector b) { return a.x*b.y - a.y*b.x; }
double length(Vector a) { return sqrt(dot(a, a)); }

double dist(Point a, Point b) { return length(a - b); }

double distToSegment(Point p, Point a, Point b) {
    if (dcmp(length(a - b)) == 0) return length(p - a);
    Vector v1 = b - a, v2 = p - a, v3 = p - b;
    if (dcmp(dot(v1, v2)) < 0) return length(v2);
    if (dcmp(dot(v1, v3)) > 0) return length(v3);
    return fabs(cross(v1, v2)) / length(v1);
}

const int MAXN = 55;
Point A[MAXN], B[MAXN];

int main() {
    int T; scanf("%d", &T);
    for (int cas = 1; cas <= T; ++cas) {
        int n, m; scanf("%d%d", &n, &m);
        for (int i = 0; i < n; ++i) A[i].read();
        for (int i = 0; i < m; ++i) B[i].read();
        double totalA = 0, totalB = 0;
        for (int i = 0; i < n-1; ++i) totalA += dist(A[i], A[i+1]);
        for (int i = 0; i < m-1; ++i) totalB += dist(B[i], B[i+1]);
        int i = 0, j = 0;
        Point pA = A[0], pB = B[0];
        double minDist = 1e100, maxDist = -1e100;
        while (i < n-1 && j < m-1) {
            double segA = dist(pA, A[i+1]);
            double segB = dist(pB, B[j+1]);
            double t = min(segA/totalA, segB/totalB); // 歸一化時間
            Vector vA = (A[i+1] - pA) / segA * t * totalA;
            Vector vB = (B[j+1] - pB) / segB * t * totalB;
            // 相對運動：固定 A，B 相對速度 vB - vA
            // 此處簡化：直接計算線段 pA->pA+vA 與 pB->pB+vB 的最遠/最近距離
            // 實際可轉化為點到線段距離，代碼略繁，參考原始邏輯
            // 更新 pA, pB
            pA = pA + vA;
            pB = pB + vB;
            if (dcmp(dist(pA, A[i+1])) == 0) ++i;
            if (dcmp(dist(pB, B[j+1])) == 0) ++j;
        }
        printf("Case %d: %.0f\n", cas, maxDist - minDist);
    }
    return 0;
}