CSU 1664 防水堤壩：周長固定求最大面積的數學規律

問題描述

用 K 條邊圍成多邊形，邊要么是軸向單位長度 1，要么是 45° 斜邊長度 √2。頂點在整點。求最大面積（保留一位小數）。3 ≤ K ≤ 2e9。

幾何規律與公式推導

最優圖形為「正八邊形趨近正方形」。設 K = 4x + y (y=0,1,2,3)：

• y=0：正方形，面積 4x²
• y=1：面積 4x² + 2x - 1
• y=2：面積 4x(x+1)
• y=3：面積 4x² + 6x + 1

統一公式：ans = 4*x*(x + (y>=2)) + (y==1?2*x-1:0) + (y==3?2*x+1:0)，最終面積 = ans / 2。輸出 ans/2 若 ans 為偶數則 .0 否則 .5。

代碼實現

int main() {
    long long K;
    while (scanf("%lld",&K)==1) {
        long long x = K/4, y = K%4;
        long long ans = 0;
        if (y < 2) ans = 4*x*x;
        else ans = 4*x*(x+1);
        if (y==1) ans += 2*x - 1;
        else if (y==3) ans += 2*x + 1;
        if (ans & 1) printf("%lld.5\n", ans/2);
        else printf("%lld.0\n", ans/2);
    }
    return 0;
}

關鍵點

• 大數 K≤2e9 需 long long。
• 面積可能為半整數，輸出格式嚴格要求一位小數。
• 規律發現靠畫圖找規律，K=7 時易畫錯（實為 5.5）。

總結

CSU 1664 是純數學找規律題。關鍵在於識別「八邊形切角」的最優結構，並推導出 K mod 4 分情況的封閉公式。代碼極短，思維量大。