BZOJ 2302 HAOI2011 Problem C 動態規劃解法詳解

題目大意

給定 n 個人和 n 個位置，要求生成一個序列 a_i，第 1...n 個人依次走到第 a_1...a_n 個位置。若該位置已被佔據，則順延至下一個空位；若遍歷完所有位置仍無空位，則該序列不合法。現已確定部分 a_i，求合法序列的總數。

核心等價條件

一個序列合法，當且僅當編號 ≤ i 的人至少有 i 個。這一條件將問題轉化為動態規劃模型。

動態規劃定義與轉移

• f[i][j]：編號 ≤ i 的人恰有 j 個的方案數。
• cnt[i]：確定編號為 i 的人的數量。
• sum[i]：編號可以 ≤ i 的人的總數。

轉移方程：

f[i][j] = Σ f[i-1][j-k] * C(sum[i] - cnt[i] - (j-k), k - cnt[i])
          k = cnt[i] ... j-i+1

其中組合數表示：從剩餘 sum[i] - cnt[i] - (j-k) 人中，選出 k - cnt[i] 人使其編號為 i。時間複雜度 O(T n^3)。

參考代碼 (C++)

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#define M 330
using namespace std;

int n, m, p;
int cnt[M], sum[M];
long long C[M][M], f[M][M];

void Initialize() {
    memset(cnt, 0, sizeof cnt);
    memset(C, 0, sizeof C);
    memset(f, 0, sizeof f);
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        C[i][0] = 1;
        for (int j = 1; j <= i; j++)
            C[i][j] = (C[i-1][j] + C[i-1][j-1]) % p;
    }
}

int main() {
    int T;
    cin >> T;
    while (T--) {
        cin >> n >> m >> p;
        sum[0] = n - m;
        Initialize();
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            int x; scanf("%*d%d", &x);
            cnt[x]++;
        }
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            sum[i] = sum[i-1] + cnt[i];
            if (sum[i] < i) { /* 不合法，可提前結束 */ }
        }
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            for (int j = sum[i]; j >= i; j--)
                for (int k = j - i + 1; k >= cnt[i]; k--)
                    (f[i][j] += f[i-1][j-k] * C[sum[i] - j + k - cnt[i]][k - cnt[i]]) %= p;
        printf("%d\n", (int)f[n][n]);
    }
    return 0;
}