LeetCode 筆記：Minimum Path Sum - 矩陣最小路徑和

題目描述

給定 m×n 非負整數矩陣，從左上角走到右下角，每步只能向右或向下，求路徑上數字和的最小值。

動態規劃：標準二維 DP

dp[i][j]：走到 (i,j) 的最小路徑和。
轉移：dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]
邊界：首行只能從左來，首列只能從上來。

代碼 (C++ / Java / Python)

class Solution {
public:
    int minPathSum(vector>& grid) {
        int m = grid.size(), n = grid[0].size();
        vector> dp(m, vector(n));
        dp[0][0] = grid[0][0];
        for (int i = 1; i < m; ++i) dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0];
        for (int j = 1; j < n; ++j) dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j];
        for (int i = 1; i < m; ++i)
            for (int j = 1; j < n; ++j)
                dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j];
        return dp[m-1][n-1];
    }
};

public class Solution {
    public int minPathSum(int[][] grid) {
        int m = grid.length, n = grid[0].length;
        int[][] dp = new int[m][n];
        dp[0][0] = grid[0][0];
        for (int i = 1; i < m; ++i) dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0];
        for (int j = 1; j < n; ++j) dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j];
        for (int i = 1; i < m; ++i)
            for (int j = 1; j < n; ++j)
                dp[i][j] = Math.min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j];
        return dp[m-1][n-1];
    }
}

class Solution:
    def minPathSum(self, grid: List[List[int]]) -> int:
        m, n = len(grid), len(grid[0])
        dp = [[0]*n for _ in range(m)]
        dp[0][0] = grid[0][0]
        for i in range(1, m): dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0]
        for j in range(1, n): dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j]
        for i in range(1, m):
            for j in range(1, n):
                dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]
        return dp[-1][-1]

空間優化：一維滾動數組 / 原地修改

• 一維 dp[n]：逐行更新，dp[j] = min(dp[j], dp[j-1]) + grid[i][j]。
• 原地修改 grid：grid[i][j] += min(grid[i-1][j], grid[i][j-1])，無額外空間（若允許修改輸入）。

複雜度

• 時間：O(m·n)
• 空間：O(m·n) / O(n) / O(1)

總結

最小路徑和是二維 DP 入門必修題。狀態定義直觀、轉移方程對稱、邊界處理簡單。面試時寫出二維版講清邏輯，再現場優化至一維或原地修改，展示空間優化技巧。可延伸至「帶障礙物」、「三方向移動」、「路徑計數」等變體。