LeetCode 198：打家劫舍問題完整解析與動態規劃實現

問題描述

你是一名專業強盜，計劃沿著一條街道依次打劫房屋。每間房屋內存放著一定數量的現金，但相鄰房屋之間裝有防盜系統，若同一夜連續闖入兩間相鄰房屋，系統會自動報警。給定一個非負整數陣列，代表每間房屋的金額，請計算在不觸發警報的前提下，一夜之間能竊取的最大金額。

核心思路：動態規劃

這是一個經典的動態規劃問題。對於第 i 間房屋，我們只有兩種選擇：偷 或 不偷。

• 選擇偷：則第 i-1 間必須不偷，當前累計最大值為 nums[i-1] + dp[i-2]。
• 選擇不偷：則沿用前一間的最大值 dp[i-1]。

狀態轉移方程：

dp[i] = max(dp[i-1], dp[i-2] + nums[i-1])

其中 dp[i] 表示打劫前 i 間房屋所能獲得的最大金額。

C++ 參考實現

class Solution {
public:
    int rob(vector& nums) {
        int n = nums.size();
        if (n == 0) return 0;
        vector dp(n + 1, 0);
        dp[1] = nums[0];
        for (int i = 2; i <= n; ++i) {
            dp[i] = max(dp[i-1], dp[i-2] + nums[i-1]);
        }
        return dp[n];
    }
};

空間優化版本

由於 dp[i] 僅依賴前兩個狀態，可用兩個變數滾動更新，將空間複雜度從 O(n) 降為 O(1)：

int rob(vector& nums) {
    int prev = 0, curr = 0;
    for (int num : nums) {
        int temp = max(curr, prev + num);
        prev = curr;
        curr = temp;
    }
    return curr;
}

複雜度分析

• 時間複雜度：O(n)，單次遍歷陣列。
• 空間複雜度：O(1)（優化版）或 O(n)（陣列版）。

測試範例

輸入：[1,2,3,1] → 輸出：4（偷第 1、3 間）
輸入：[2,7,9,3,1] → 輸出：12（偷第 1、3、5 間）