C++ 第 4 週項目：函數設計與遞歸實戰——最大公約數、正弦泰勒展開、猜數字遊戲、遞歸分析

項目 1：最大公約數函數族

• gcd(a,b)：輾轉相除法實現
• gcds(a,b,c,d)：調用 gcd 兩次組合求四數最大公約數
• 單步調試觀察調用棧與參數傳遞

項目 2：正弦泰勒展開自定義實現

sin x = x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + ...

• 自定義 myabs 求絕對值
• 項絕對值 < 0.00001 終止累加
• 角度轉弧度：rad = deg * π / 180
• 驗證：sin(π/2)=1, sin(56°)≈0.829038

項目 3：隨機數應用小遊戲

猜數字

• srand(time(0)) 初始化種子
• rand()%1000+1 生成 1~1000 隨機數
• 提示「大了/小了」，統計猜測次數

小學生算術測試

• 隨機生成 10 道 ±×÷ 題，操作數 ≤ 99
• 判定答案正確性，統計得分

項目 4：遞歸程序手動模擬分析

例 1：遞歸打印

void fun(int k) {
    if (k>0) fun(k-1);
    cout << k;
}
fun(5); // 輸出：0 1 2 3 4 5

例 2：字符遞歸

void recur(char c) {
    cout << c;
    if (c<'9') recur(c+1);
}
recur('0'); // 輸出：0123456789

例 3：引用參數修改

int fun2(int a,int b){ return a*b%3; }
int fun1(int &a,int &b){
    a+=a; b+=b;
    return fun2(a,b)*fun2(a,b);
}
// main: x=11,y=19 → fun1 調用後 x=22,y=38 → 返回 (22*38%3)² = 1² = 1

項目 5：默認參數陷阱

• 默認值只能在聲明處給出，定義處不能重複
• 默認參數必須靠右：f(int a, int b=1) 合法，f(int a=1, int b) 非法
• 調用時可省略尾部參數

項目 6：遞歸函數編寫練習

1. 階乘 fact(n)
2. 奇數乘積 oddProd(n)
3. 遞歸求 gcd
4. 費波納契 fib(20)（注意遞歸指數複雜度，教學用）