C 語言物理建模：自由落體反彈高度與總路程計算

問題

球從 100m 高度落下，每次落地反彈至原高度一半。求第 10 次落地時總路程、第 10 次反彈高度。

數學模型

• 第 1 次落地：下落 100m；
• 第 i 次落地 (i≥2)：上升 h_{i-1} + 下落 h_{i-1} = 2*h_{i-1}；
• 反彈高度遞推：h_i = h_{i-1} / 2，h_0 = 100。

代碼實現

#include <stdio.h>

float totalDistance(float h, int n) {
    float s = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        s += h;           // 下落
        h /= 2;           // 反彈高度
        if (i != n) s += h; // 非最後一次落地，加上升
    }
    return s;
}

float reboundHeight(float h, int n) {
    for (int i = 0; i < n; ++i) h /= 2;
    return h;
}

int main() {
    int n;
    printf("請輸入落地次數: ");
    scanf("%d", &n);
    float h = 100.0f;
    printf("第 %d 次反彈高度: %.6f m\n", n, reboundHeight(h, n));
    printf("第 %d 次落地總路程: %.6f m\n", n, totalDistance(h, n));
    return 0;
}

第 10 次結果

第 10 次反彈高度: 0.097656 m
第 10 次落地總路程: 299.804688 m

通用公式（幾何級數）

• 總路程 S_n = 100 + 2*100*(1 - (1/2)^{n-1}) (n≥2)；
• 反彈高度 h_n = 100 * (1/2)^n。
• 當 n→∞，總路程趨近 300m。