斯坦福 CS107 筆記(二)：數據表示、補碼原理與類型轉換

斯坦福大學 CS107《編程范式》課程第二講筆記：深入講解整數/浮點數底層表示、補碼形成原理、類型轉換時的位模式複製規則。

基本類型大小

位與字節

• 1 byte = 8 bits = 2⁸ = 256 種組合
• 每位有權重：2⁰, 2¹, 2²...（無符號）
• short 2 bytes = 16 bits = 2¹⁶ 種組合

有符號整數表示演進

原碼

• 最高位為符號位（0 正，1 負）
• 缺陷：+0/-0 兩種零；減法需單獨邏輯

反碼

• 負數 = 正數按位取反
• 缺陷：仍有 +0/-0；+7 + (-7) = -0 ≠ +0

補碼（現代標準）

核心洞察：什麼數加上 +7 得 0？

• 無符號 8 位：255 (0xFF) 是 -1，因為 255 + 1 = 256 → 溢出歸 0
• 推廣：-x = (~x) + 1（取反加一）
• 優勢：唯一零、加減法統一、硬件極簡

類型轉換：位模式複製

擴展：小類型 → 大類型

char ch = 'A';      // 0x41 = 65
short s = ch;       // 符號擴展：高位填符號位
// s = 0x0041 = 65

• 正數/無符號：高位填 0
• 負數：高位填 1（保持數值不變）
• 規則：複製位模式，高位符號擴展

截斷：大類型 → 小類型

short s = 67;       // 0x0043
char ch = s;        // 直接截取低 8 位
// ch = 0x43 = 67

• 直接丟棄高位位模式
• 不關心數值大小，純位操作
• 負數同理：short s = -1; char c = s; → c = -1 (0xFF)

浮點數 IEEE 754 表示

32 位 float：
┌─┬────────┬──────────────────────┐
│S│ Exp(8) │     Frac(23)         │
└─┴────────┴──────────────────────┘
S = 符號位
Exp = 指數（偏移 127，即真實指數 = Exp - 127）
Frac = 尾數（隱含最高位 1，即 1.Frac）
值 = (-1)^S × 2^(Exp-127) × 1.Frac

整數 ↔ 浮點轉換

// 整數轉浮點：數值保持，位模式完全改變
int i = 5;
float f = i;        // f = 5.0, 位模式 0x40A00000

// 指針強制轉換：位模式不變，重新解釋
int i = 37;
float f = *(float*)&i;  // 位模式 0x00000025 → 解釋為 float ≈ 5.18e-44

關鍵總結

經典面試題

float f = 7.0;
short s = *(short*)&f;  // 取 float 低 16 位解釋為 short
// f = 0x40E00000 → 低 16 位 0x0000 → s = 0

結語

理解「位模式複製」是掌握 C/C++ 底層行為的鑰匙。補碼的「取反加一」不再是死記規則，而是從「什麼數加 1 溢出歸零」的硬件視角自然推導。類型轉換分為「數值保持（賦值）」與「位模式保持（指針強轉）」兩類，前者改變位模式，後者改變解釋。這一思維框架能解決 90% 的類型轉換疑難雜癥。