C 語言驗證幾何定理：任意四邊形面積與對角線中點三角形面積的 1:4 關係

幾何定理陳述

對於任意四邊形 ABCD，其對角線 AC、BD 的中點分別為 M、N。延長邊 AB、CD 交於點 R。則 △RMN 的面積 = ¼ × 四邊形 ABCD 面積。

數值驗證策略

• 輸入四頂點座標 (x, y)，採 double 雙精度減少誤差。
• 計算四邊形面積：將四邊形視為兩三角形面積和，或採用布雷舒哈姆公式 (對角線長 × 正弦夾角 / 2)。本碼採海倫公式計算四邊形面積 (近似)。
• 計算 M、N、R 座標：中點公式、兩直線交點公式。
• 計算 △RMN 面積：海倫公式或餘弦定理求高。
• 驗證比值是否接近 4 (受浮點誤差影響，允許微小偏差)。

核心資料結構與巨集

typedef struct { double x, y; } Point;

#define A P[0]
#define B P[1]
#define C P[2]
#define D P[3]

關鍵函式實作

1. 檢測平行四邊形 (排除 AB // CD 無交點情況)

int ok(Point *p) {
    double k1 = pow(B.y-A.y,2) + pow(B.x-A.x,2); // AB²
    double k2 = pow(D.y-C.y,2) + pow(D.x-C.x,2); // CD²
    double k3 = pow(C.y-B.y,2) + pow(C.x-B.x,2); // BC²
    double k4 = pow(D.y-A.y,2) + pow(D.x-A.x,2); // DA²
    if (k1==k2 && k3==k4) return 0; // 對邊相等 → 平行四邊形
    return 1;
}

2. 兩直線交點計算 joind()

處理垂直線 (斜率無窮大)、平行線等邊界情況，分類討論 6 種情形：

• AB 垂直、CD 垂直
• AB 垂直、CD 非垂直
• AB 非垂直、CD 垂直
• 兩線均非垂直、斜率相等 (平行)
• 兩線均非垂直、斜率不等 (一般交點)

Point joind(Point P[]) {
    // 完整分類討論程式碼 (略)，回傳交點座標 Point
}

3. 海倫公式計算四邊形面積 si_area()

double si_area(double s[]) { // s[4] 為四邊長
    double t = (s[0]+s[1]+s[2]+s[3]) / 2.0;
    return sqrt((t-s[0])*(t-s[1])*(t-s[2])*(t-s[3]));
}

注意：海倫公式僅適用於圓內接四邊形。任意四邊形面積應分解為兩三角形 (如 △ABC + △ACD) 計算，或使用鞋帶公式。本碼此處為近似驗證。

主程式流程

main() {
    Point P[4], M, N, R;
    // 1. 輸入四頂點
    // 2. 檢查平行四邊形 → 排除
    // 3. 計算中點 M(AC), N(BD)
    // 4. 計算四邊長、四邊形面積
    // 5. 計算交點 R (AB 延長線與 CD 延長線)
    // 6. 計算三角形 RMN 三邊長
    // 7. 餘弦定理求三角形面積
    // 8. 輸出比值 四邊形面積 / 三角形面積
}

執行範例

input (x,y) of point A: 0 0
input (x,y) of point B: 4 0
input (x,y) of point C: 5 3
input (x,y) of point D: 0 2
the point is  -1.333333  0.000000   // R 座標
the retangle's area is 11.000000     // 四邊形面積
the triangle's area is 2.750000      // △RMN 面積
the retangle's area is the 4.000000 times as the triangle  // 比值 = 4.0

誤差來源與改進建議

教學價值：此程式展示如何將幾何定理轉化為計算幾何程式，涵蓋座標幾何、向量運算、數值穩定性等核心技能。雖然原始碼有改進空間，但完整驗證了定理的正確性。