POJ 1751 Highways：最小生成樹（Prim 算法）C++ 實現

問題描述

給定 n 個點座標，部分點間已有高速公路（邊權為 0）。求最小生成樹，輸出尚需建設的邊（兩端點編號）。

算法選擇：Prim 算法

稠密圖（n ≤ 750）適合 Prim O(n²) 實現。需記錄 pre[] 重構邊。

完整代碼

#include 
#include 
#include 
#include 
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;

int n, vis[755], pre[755], x[755], y[755], d[755], e[755][755];

void prim() {
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        pre[i] = 1;
        d[i] = e[1][i];
    }
    d[1] = 0; vis[1] = 1;

    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        int tmp = INF, p = 0;
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            if (!vis[j] && tmp > d[j]) { tmp = d[j]; p = j; }

        if (tmp != 0) printf("%d %d\n", pre[p], p);  // 輸出新建邊
        if (tmp == INF) break;
        vis[p] = 1;
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            if (!vis[j] && d[j] > e[p][j]) {
                d[j] = e[p][j];
                pre[j] = p;
            }
    }
}

int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d%d", &x[i], &y[i]);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= i; j++)
            if (i == j) e[i][j] = 0;
            else e[i][j] = e[j][i] = (x[i]-x[j])*(x[i]-x[j]) + (y[i]-y[j])*(y[i]-y[j]);  // 距離平方

    int q; scanf("%d", &q);
    while (q--) {
        int a, b; scanf("%d%d", &a, &b);
        e[a][b] = e[b][a] = 0;  // 已有邊權設 0
    }
    prim();
    return 0;
}

關鍵點解析

• 邊權用距離平方避免 sqrt，不影響大小比較。
• 已有高速公路邊權設 0，Prim 會優先選入樹中。
• pre[] 記錄每點加入樹時的前驅點，構建輸出邊。
• 僅輸出 tmp != 0 的邊，即非原有邊。

複雜度

時間 O(n²)，空間 O(n²)（鄰接矩陣），n ≤ 750 完全滿足。

延伸：Kruskal 算法

對於輸出邊的題目，Kruskal + 並查集同樣適用，代碼可能更簡潔（邊排序後依次加入）。