C# 矩陣運算完整實現：初始化、轉置、求逆、高斯消元

C# 標準庫無內置矩陣類型，科學計算常需自行實現。本文提供一個**純 C# 矩陣結構體**與**運算類**，支持初始化、加減乘、轉置、行列式 (2×2/3×3)、逆矩陣 (高斯-喬丹消元)，附 WinForms 測試代碼。

核心數據結構

public class Matrix {
    public int Rows { get; set; }
    public int Cols { get; set; }
    public float[] Data;  // 一維數組行優先存儲: [i * Cols + j]

    public Matrix(int rows, int cols) {
        Rows = rows; Cols = cols;
        Data = new float[rows * cols];
    }

    public float this[int i, int j] {
        get => Data[i * Cols + j];
        set => Data[i * Cols + j] = value;
    }
}

運算類靜態方法

public static class MatrixOps {
    // 加法
    public static Matrix Add(Matrix A, Matrix B) { ... }
    // 減法
    public static Matrix Subtract(Matrix A, Matrix B) { ... }
    // 乘法
    public static Matrix Multiply(Matrix A, Matrix B) { ... }
    // 轉置
    public static Matrix Transpose(Matrix A) { ... }
    // 行列式 (僅 2×2、3×3)
    public static float Determinant(Matrix A) { ... }
    // 逆矩陣 (高斯-喬丹消元，增廣矩陣法)
    public static Matrix Inverse(Matrix A) { ... }
}

逆矩陣算法：高斯-喬丹消元

1. 構造增廣矩陣 [A | I] (尺寸 n × 2n)。
2. **前向消元**：將左半部化為上三角（主元歸一、行消元）。
3. **後向消元**：將左半部化為單位矩陣（從底向上消元）。
4. 右半部即為 A⁻¹。
5. 主元為 0 時進行行交換；全列為 0 則矩陣奇異，不可逆。

WinForms 測試程序

public partial class Form1 : Form {
    public Form1() {
        InitializeComponent();
        var A = new Matrix(2, 2);
        var B = new Matrix(2, 2);
        var C = new Matrix(2, 2);
        // 填充數據
        int k = 1;
        for (int i = 0; i < 2; i++)
            for (int j = 0; j < 2; j++)
                A[i, j] = k++;
        for (int i = 0; i < 2; i++)
            for (int j = 0; j < 2; j++)
                B[i, j] = k++;
        
        C = MatrixOps.Multiply(A, B);
        output.Text = C[1, 1].ToString();  // 顯示結果
    }
}

關鍵實現細節

• 一維數組模擬二維：index = i * Cols + j，緊湊內存、訪問快。
• 索引器：this[i, j] 提供自然語法。
• 維度檢查：運算前驗證 Rows/Cols 匹配，失敗拋出異常或返回錯誤碼。
• 浮點精度：float 精度有限，科學計算建議用 double 或引入 Math.NET Numerics。
• 行列式僅支持 2/3 階：高階需遞歸/ LU 分解，代碼未實現。