Python math.log() 自然對數函數完整教學：語法、參數、範例與常見錯誤

math.log(x[, base]) 是 Python 標準庫 math 模組提供的對數函數，預設計算自然對數（底數為 e），也可指定任意底數。本文詳細說明語法、參數、回傳值、多種底數用法、定義域限制與實務範例。

函數簽名

import math
math.log(x)          # 自然對數 ln(x)
math.log(x, base)    # 指定底數對數 log_base(x)

參數與回傳值

基本範例

import math

print(math.log(1))           # 0.0
print(math.log(math.e))      # 1.0
print(math.log(100))         # 4.605170185988092 (ln 100)
print(math.log(100, 10))     # 2.0 (log10 100)
print(math.log(8, 2))        # 3.0 (log2 8)
print(math.log(0.5))         # -0.6931471805599453

常見專用對數函數（效能更好、語意更清晰）

math.log10(x)   # 底數 10，等同 math.log(x, 10) 但更快、精度更高
math.log2(x)    # 底數 2，等同 math.log(x, 2)
math.log1p(x)   # 計算 ln(1 + x)，針對極小 x (|x| << 1) 保持高精度

定義域錯誤處理

try:
    math.log(0)
except ValueError as e:
    print(e)  # math domain error

try:
    math.log(-5)
except ValueError as e:
    print(e)  # math domain error

實務應用場景

1. 資訊熵 / 機率對數：-sum(p * math.log2(p) for p in probs)
2. 指數增長/衰減模型：半衰期 t_half = math.log(2) / decay_rate
3. 演算法複雜度估算：二分搜尋步數 math.log2(n)
4. 金融連續複利：A = P * math.e ** (r * t) 或 t = math.log(A/P) / r
5. 聲音/光強度分貝：dB = 20 * math.log10(amplitude_ratio)

效能提示

• 固定底數（2、10、e）優先用 log2、log10、log（無 base 參數），避免額外除法運算。
• 大量陣列運算請改用 numpy.log、numpy.log2、numpy.log10，向量化速度快數十倍。

常見誤區

• 以為 math.log(100) 是底數 10 → 實為自然對數，底數 10 請用 math.log10(100) 或 math.log(100, 10)。
• 傳入整數 0 或負數會拋出例外，務必前置檢查 if x > 0。
• 極小數值 math.log(1 + 1e-15) 精度損失大，改用 math.log1p(1e-15)。

掌握 math.log 及其姊妹函數，能在科學計算、資料分析、演算法實作中精準高效地處理對數運算。