C語言判斷完數（完全數）：標準算法與優化版完整代碼

定義回顧

完數（完全數）：等於其所有真因子（不含自身）之和的自然數。
例子：6 = 1+2+3，28 = 1+2+4+7+14，496，8128...

標準實現（O(√n) 優化）

#include 
#include 

int is_perfect(int n) {
    if (n <= 1) return 0;
    int sum = 1;  // 1 是所有 n>1 的因子
    int limit = (int)sqrt(n);

    for (int i = 2; i <= limit; i++) {
        if (n % i == 0) {
            sum += i;
            int paired = n / i;
            if (paired != i) sum += paired;  // 避免平方數重複加
        }
    }
    return sum == n;
}

int main() {
    int n;
    printf("輸入正整數: ");
    scanf("%d", &n);
    if (is_perfect(n))
        printf("%d 是完數\n", n);
    else
        printf("%d 不是完數\n", n);
    return 0;
}

複雜度對比

已知完數查表法（工程最快）

int is_perfect_fast(int n) {
    // 32位有符號範圍內僅有 4 個完數
    static const int perfect[] = {6, 28, 496, 8128};
    for (int i = 0; i < 4; i++)
        if (perfect[i] == n) return 1;
    return 0;
}

常見錯誤避坑

1. for(i=1; i 包含 n 自身 → 和會偏大
2. 忘記處理 i == n/i（完全平方數）導致因子重複相加
3. sum 用 int 可能溢出（n>46340 時 i*i 溢出），建議 long long
4. 輸入 1 判定為完數 → 1 無真因子，和為 0，非完數

擴展：尋找範圍內所有完數

void find_perfect_range(int limit) {
    for (int n = 2; n <= limit; n++) {
        if (is_perfect(n))
            printf("%d ", n);
    }
    printf("\n");
}
// 10000 以內輸出：6 28 496 8128

數學冷知識

• 所有已知完數均為偶數，奇完數是否存在是未解懸案
• 完數與梅森素數一一對應：2^p-1 為素數 → 2^(p-1)*(2^p-1) 為完數
• 第 51 個完數（2018 發現）有超過 4900 萬位十進制數字

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