入門練習：Fibonacci 數列取模（遞歸 vs 迭代）

題目描述

Fibonacci 數列：F₁ = F₂ = 1，Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂ (n ≥ 3)。求 Fₙ mod 10007。n ≤ 1,000,000。

錯誤示範：遞歸超時

// ❌ 指數級遞歸，n=50 就極慢
int Fibonacci(int n) {
    if (n == 1 || n == 2) return 1;
    return Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2);
}

正確解法：迭代 + 取模優化

關鍵性質：(a + b) % m = (a % m + b % m) % m。直接計算餘數，避免大數溢出。

#include <iostream>
using namespace std;

const int MOD = 10007;
const int MAXN = 1000003;
int f[MAXN];

void precompute() {
    f[1] = f[2] = 1;
    for (int i = 3; i < MAXN; i++) {
        f[i] = (f[i-1] + f[i-2]) % MOD;
    }
}

int main() {
    precompute();
    int n;
    while (cin >> n) {
        cout << f[n] << endl;
    }
    return 0;
}

進一步優化：O(1) 空間

只需保留前兩項：

int fib_mod(int n) {
    if (n <= 2) return 1;
    int a = 1, b = 1, c;
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        c = (a + b) % MOD;
        a = b;
        b = c;
    }
    return b;
}

進階：矩陣快速冪 O(log n)

對於極大 n（如 10¹⁸），可用矩陣快速冪：

[Fₙ  ]   [1 1]ⁿ⁻¹ [F₁]
[Fₙ₋₁] = [1 0]    [F₀]

關鍵點總結

• 遞歸重複計算導致指數複雜度，必須用迭代或記憶化
• 取模運算可分配到加法中，避免大數
• 預計算 + O(1) 查詢適合多測試用例
• 空間可優化到 O(1)