HDU 1150 Machine Schedule：二分圖最小點覆蓋與最大匹配

問題描述

HDU 1150 要求找出二分圖的最小點覆蓋數。根據Kőnig 定理：

二分圖的最小點覆蓋數 = 最大匹配數

因此問題轉化為求二分圖最大匹配。

演算法：匈牙利算法

使用 DFS 基礎的匈牙利算法尋找增廣路徑，時間複雜度 O(VE)，適用於本題資料範圍。

Java 完整解法

import java.io.*;
import java.util.*;

class Edge {
    int to, next;
}

class Solution {
    static Scanner in = new Scanner(System.in);
    static PrintWriter out = new PrintWriter(System.out);
    
    int n, m;                    // 兩邊頂點數
    int[] match = new int[1111]; // 右側頂點匹配的左側頂點
    Edge[] edges = new Edge[1111];
    int[] head = new int[1111];
    int[] vis = new int[1111];
    int tot = 0;
    
    void init() {
        tot = 0;
        Arrays.fill(match, -1);
        Arrays.fill(head, -1);
    }
    
    void addEdge(int u, int v) {
        edges[tot] = new Edge();
        edges[tot].to = v;
        edges[tot].next = head[u];
        head[u] = tot++;
    }
    
    // DFS 尋找增廣路徑
    boolean dfs(int u) {
        for (int i = head[u]; i != -1; i = edges[i].next) {
            int v = edges[i].to;
            if (vis[v] == 1) continue;
            vis[v] = 1;
            if (match[v] == -1 || dfs(match[v])) {
                match[v] = u;
                return true;
            }
        }
        return false;
    }
    
    void solve() {
        while (in.hasNext()) {
            init();
            n = in.nextInt();
            if (n == 0) break;
            m = in.nextInt();
            int k = in.nextInt();
            
            for (int i = 1; i <= k; i++) {
                int a = in.nextInt(); // 機器編號（忽略）
                int b = in.nextInt(); // 左側頂點
                int c = in.nextInt(); // 右側頂點
                addEdge(b, c);
            }
            
            int ans = 0;
            for (int i = 1; i <= n; i++) {
                Arrays.fill(vis, 0);
                if (dfs(i)) ans++;
            }
            out.println(ans);
        }
        out.close();
    }
}

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        new Solution().solve();
    }
}

核心邏輯解析

1. 圖的建模

• 左側集合：機器 A（1~n）
• 右側集合：機器 B（1~m）
• 邊：可相容的機器對

2. 匈牙利算法流程

1. 對每個左側未匹配頂點，嘗試尋找增廣路徑
2. DFS 遍歷鄰接邊，若右側頂點未被訪問：
3.  若右側未匹配，直接匹配
4.  若右側已匹配，遞迴嘗試為其原匹配左側頂點尋找新匹配
5. 找到增廣路徑則匹配數 +1

3. 關鍵資料結構

複雜度分析

• 時間：O(n × k) ≈ O(VE)，n ≤ 100，k ≤ 1000，極快
• 空間：O(V + E)

常見錯誤與注意點

1. 訪問標記重置：每次 DFS 前必須 Arrays.fill(vis, 0)
2. 多組測試資料：while (in.hasNext()) 迴圈處理，遇到 n=0 結束
3. 輸入格式：每條邊輸入三個數 a b c，其中 a 為機器編號（題目背景資訊，解題時忽略）

擴展：HK 算法優化

若資料範圍擴大（V ~ 10⁵），可改用 Hopcroft-Karp 算法，時間複雜度 O(√V × E)，利用 BFS 分層 + DFS 尋找多條最短增廣路徑並行推進。

總結

HDU 1150 是二分圖最大匹配的經典應用。掌握 Kőnig 定理與匈牙利算法 DFS 實作，是解決此類問題的核心技能。Java 實作需注意輸入輸出效率，使用 Scanner + PrintWriter 並關閉緩衝區足以應對本題規模。