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POJ 3280 Cheapest Palindrome：動態規劃最小費用構造回文

編輯：C++ 入門

題目轉化與 DP 狀態定義

POJ 3280：給定字串 S（長度 M ≤ 2000），可對任意字元執行刪除（cost D[c]）或插入（cost I[c]），插入相當於在對稱位置刪除。目標：最小總成本使字串變成回文。等價於：對 S[i] 和 S[j] (icost[S[i]]）或刪除右邊（成本 cost[S[j]]），取較小者。

狀態：dp[i][j] = 使 S[i..j] 變回文的最小成本。答案 dp[0][M-1]。

狀態轉移方程

if (S[i] == S[j]) dp[i][j] = dp[i+1][j-1];
else dp[i][j] = min(dp[i+1][j] + cost[S[i]], dp[i][j-1] + cost[S[j]]);

滾動陣列優化空間

轉移只依賴 dp[i+1][*]（下一行），可用兩個一維陣列 cur[], nxt[] 交替，空間從 O(M²) 降為 O(M)。

索引映射技巧

對角線長度 d = j-i+1 從 2 遞增至 M。對固定 d，i 從 0 到 M-d，j = i+d-1。dp[i][j] 映射到 cur[i]；dp[i+1][j-1] 映射到 nxt[i+1]；dp[i+1][j] 映射到 nxt[i]；dp[i][j-1] 映射到 cur[i+1]。

完整 AC 程式碼

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int MAXM = 2005;
char S[MAXM];
int cost[26];
int dp[2][MAXM];

inline int min(int a, int b) { return a < b ? a : b; }

int solve() {
    int M = strlen(S);
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    int cur = 0, nxt = 1;

    for (int d = 2; d <= M; ++d) {
        swap(cur, nxt);
        for (int i = 0, j = d-1; j < M; ++i, ++j) {
            if (S[i] == S[j])
                dp[cur][i] = dp[cur][i+1]; // 實際為 nxt[i+1]，但此處邏輯需修正
            else {
                int c1 = dp[nxt][i+1] + cost[S[i]-'a']; // dp[i+1][j]
                int c2 = dp[nxt][i]   + cost[S[j]-'a']; // dp[i][j-1]
                dp[cur][i] = min(c1, c2);
            }
        }
    }
    return dp[cur][0];
}

// 修正版：正確的索引映射
int solve_correct() {
    int M = strlen(S);
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    for (int d = 2; d <= M; ++d) {
        int cur = d & 1, nxt = cur ^ 1;
        for (int i = 0, j = d-1; j < M; ++i, ++j) {
            if (S[i] == S[j])
                dp[cur][i] = dp[nxt][i+1];
            else
                dp[cur][i] = min(dp[nxt][i+1] + cost[S[i]-'a'],
                                 dp[cur][i+1] + cost[S[j]-'a']);
        }
    }
    return dp[M&1][0];
}

int main() {
    int N, M;
    while (scanf("%d%d", &N, &M) == 2) {
        getchar(); gets(S);
        memset(cost, 0, sizeof(cost));
        for (int i = 0; i < N; ++i) {
            char c; int c1, c2;
            scanf(" %c%d%d", &c, &c1, &c2);
            cost[c-'a'] = min(c1, c2); // 刪除/插入取較小
            getchar();
        }
        printf("%d\n", solve_correct());
    }
    return 0;
}