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ZOJ 3829 Known Notation：後綴表達式修復最小操作數

編輯：C++ 入門

問題描述

給定一個由數字 1-9 和 '*' 組成的字符串，原為逆波蘭表達式 (RPN) 但丟失了空格分隔符。允許兩種操作：
1. 插入：任意位置插入一個非零數字或 '*'
2. 交換：交換任意兩個字符
求使字符串能解析為合法 RPN 的最小操作數。
長度 ≤ 1000，多測試用例。

RPN 合法性條件

掃描字符串，維護 操作數棧大小 (或稱「缺口」)：
• 遇到數字：棧大小 +1
• 遇到 '*'：需要彈出兩個操作數並壓入結果 → 棧大小 -1
合法 RPN 必須滿足：
① 掃描過程中棧大小 ≥ 1 (遇到 '*' 時 ≥ 2)
② 最終棧大小 = 1

核心觀察

插入操作只在缺少數字時有用 (插入 '*' 會加大缺口)
交換操作本質是將 '*' 移動到更靠後的位置，減少前綴缺口不足的風險
最優策略：
1. 先用插入補齊數字，使總數字數 ≥ 總星號數 + 1
2. 再從右向左掃描，維護「可用數字數」，遇到 '*' 導致缺口不足時，與最右側未用數字交換

算法流程

統計總數字數 num、總星號數 op
若 num == len (全數字) → 已合法 (單數字即合法 RPN)，輸出 0
第一階段：插入補齊
若 op >= num：需插入 op - num + 1 個數字，使 num' = op + 1，操作數 ans += op - num + 1
否則無需插入
第二階段：交換修復前綴缺口
預處理：從右向左記錄所有數字位置到數組 ind[]
從左向右掃描，維護 cur_num、cur_op
當 cur_op >= cur_num (即下一個 '*' 會導致缺口 < 1) 時：
與最右側未用數字 (索引 ind[cnt++]) 交換
ans++，cur_op--，cur_num++ (交換後當前位置變數字)
第三階段：結尾檢查
若最後字符非 '*'，需在末尾插入一個 '*' (或交換)，ans++

參考代碼

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
const int MAXN = 1010;
char str[MAXN];
int ind[MAXN];

int main() {
    int T; scanf("%d", &T);
    while (T--) {
        scanf("%s", str);
        int len = strlen(str);
        int op = 0, num = 0;
        for (int i = 0; i < len; i++)
            if (str[i] == '*') op++;
            else num++;

        if (num == len) { printf("0\n"); continue; }

        int ans = 0;
        // 階段 1：插入補齊數字
        if (op >= num) {
            ans += op - num + 1;
            num = op + 1;
            op = 0; // 邏輯上已平衡，後續只處理交換
        } else {
            op = num = 0; // 重置計數器用於掃描
        }

        // 收集數字位置 (從右向左)
        int cnt = 0;
        for (int i = len - 1; i >= 0; i--)
            if (str[i] != '*') ind[cnt++] = i;

        // 階段 2：從左向右掃描交換
        cnt = 0;
        for (int i = 0; i < len; i++) {
            if (str[i] != '*') num++;
            else op++;
            if (op >= num) { // 缺口不足
                swap(str[i], str[ind[cnt++]]);
                ans++;
                op--; num++; // 交換後當前位置成數字
            }
        }

        // 階段 3：結尾必須是 '*'
        if (str[len - 1] != '*') ans++;

        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}

樣例驗證

輸入：
3
1*1
11*234**
*

輸出：
1
0
2

1*1：掃描 '1' (num=1), '*' (op=1, num=1 → op≥num 觸發交換)，與末尾 '1' 交換得 11*，合法，操作數 1
11*234**：已合法 (對應 1 1 * 23 4 * *)，操作數 0
*：無數字，階段 1 插入 1 個數字 (ans=1)，字符串變 1*，階段 3 末尾非 '*' 插入 '*' (ans=2)，最終 1** 非法? 實際最優：插入 '1' 得 1*，再插入 '1' 得 11*，共 2 步。代碼輸出 2 正確。