分形幾何：二叉樹分形的遞歸生成算法與核心代碼實現

分形幾何：二叉樹分形的遞歸生成算法與核心代碼實現

分形樹是分形幾何中最直觀的例子，模擬自然界樹木生長：每個線段末端按固定角度、縮放比例分叉生成兩條新線段，遞歸迭代形成自相似結構。

幾何參數定義

• vStart, vEnd：當前線段起止點（Vector3）；
• angle：分叉角度（弧度）；
• branch_c：長度縮放係數（新線段長 = 當前長 × branch_c）；
• pVertices[4]：輸出兩條新線段的 4 個端點。

核心生成函數

static void FractalBinaryTree(const Vector3& vStart, const Vector3& vEnd,
                              Yreal angle, Yreal branch_c, Vector3* pVertices) {
    Vector3 vSub = vEnd - vStart;
    Yreal len = D3DXVec3Length(&vSub);
    Yreal alfa = atan2f(vSub.y, vSub.x);          // 當前線段朝向角

    Yreal branch = len * branch_c;                // 新線段長度

    // 第一條分支：朝向 alfa - angle
    pVertices[0] = vEnd;
    pVertices[1].x = pVertices[0].x + branch * cosf(alfa - angle);
    pVertices[1].y = pVertices[0].y + branch * sinf(alfa - angle);
    pVertices[1].z = 0.0f;

    // 第二條分支：朝向 alfa + angle
    pVertices[2] = vEnd;
    pVertices[3].x = pVertices[2].x + branch * cosf(alfa + angle);
    pVertices[3].y = pVertices[2].y + branch * sinf(alfa + angle);
    pVertices[3].z = 0.0f;
}

遞歸構建完整樹

void BuildTree(Vector3 start, Vector3 end, int depth, int maxDepth,
               Yreal angle, Yreal branch_c, vector>& segments) {
    if (depth > maxDepth) return;
    segments.emplace_back(start, end);

    Vector3 verts[4];
    FractalBinaryTree(start, end, angle, branch_c, verts);

    // 左分支
    BuildTree(verts[0], verts[1], depth+1, maxDepth, angle, branch_c, segments);
    // 右分支
    BuildTree(verts[2], verts[3], depth+1, maxDepth, angle, branch_c, segments);
}

參數調整效果

渲染建議

1. 收集所有線段端點對，一次性提交 GPU（VBO/IBO）繪製 GL_LINES；
2. 可為不同層級賦予顏色漸變（樹幹深褐 → 樹葉綠）；
3. 添加隨機擾動（角度 ±5%、長度 ±10%）增強自然感；
4. 結合 L-System 文法可生成更豐富的植物形態。

此算法是程序化植被生成的基石，廣泛應用於遊戲地形、虛擬現實場景與計算機圖形學教學演示中。