HDU Tick and Tick：三針相對運動週期分析

HDU Tick and Tick - 時鐘三針同時快樂的時間比例

三針（時、分、秒）每秒移動。若任意兩針夾角 ≥ D 度，則該針「快樂」。求一天（43200 秒）中三針同時快樂的時間百分比。0 ≤ D ≤ 120。

相對運動週期

角速度：秒針 vs=6°/s，分針 vm=0.1°/s，時針 vh=1/120°/s。
相對角速度：
ω_sm = vs - vm = 5.9°/s，週期 T_sm = 360/5.9 = 3600/59 s
ω_sh = vs - vh = 719/120 °/s，週期 T_sh = 360/(719/120) = 43200/719 s
ω_mh = vm - vh = 11/120 °/s，週期 T_mh = 360/(11/120) = 43200/11 s

快樂區間

對每對針，相對角度在 [D, 360-D] 時兩針均快樂。每個相對週期內快樂時長：(360-2D)/360 * T。起始快樂時間點：D/360 * T。

三針同時快樂 = 三個快樂區間的交集

用三指針掃描：維護三對針的下一個快樂區間 [HS[i], HE[i]]。當前交集為 [max(HS), min(HE)]。若 max(HS) < min(HE)，累加長度。然後推進結束最早的那對針到下一個快樂區間。循環直到超過 43200 秒。

代碼核心

double T[3] = {360/(vm-vh), 360/(vs-vm), 360/(vs-vh)};
double HS[3] = {D/360*T[0], D/360*T[1], D/360*T[2]};
double HE[3] = {(360-D)/360*T[0], (360-D)/360*T[1], (360-D)/360*T[2]};
double happy = 0;
while (HS[1] < 43200 - D/360*T[0] && HS[2] < 43200 - D/360*T[0]) {
    double ns = max(HS[0], max(HS[1], HS[2]));
    double ne = min(HE[0], min(HE[1], HE[2]));
    if (ne > ns) happy += ne - ns;
    // 推進結束最早的區間
    for (int i=0; i<3; ++i) {
        if (fabs(HE[i] - ne) < 1e-15) { HS[i] += T[i]; HE[i] += T[i]; }
    }
}
printf("%.3f\n", happy / 432.0); // 百分比 = happy/43200 * 100

樣例驗證

• D=0：100.000%（永遠快樂）
• D=120：0.000%（三針無法兩兩 ≥120°）
• D=90：6.251%

關鍵點

• 相對運動轉絕對問題，週期化處理
• 三指針合併有序區間交集，線性掃描
• 浮點比較用 eps=1e-15 避免精度問題
• 一天 = 12小時 = 43200秒（時針走一圈）