POJ 1673 三角形垂心：幾何證明與坐標計算

幾何問題重述

給定三角形 ABC，在每邊外部作正方形，連接正方形頂點得線段，取中點與對應三角形頂點連線並延長，三線交於一點。證明該點為三角形垂心，並求座標。

幾何證明要點

1. 作 A 關於 K 的對稱點 A'，連 A'D, A'K；
2. 證 △AGK ≌ △A'GK（SAS），得 ∠1 = ∠4；
3. 推導 ∠2 = ∠5，進而證 △ABC ≌ △DAA'；
4. 最終得 ∠9 = 90°，即連線垂直於對邊，交點為垂心。

坐標計算公式

垂心 H 為三條高線交點。利用向量旋轉 90° 構造高線：

• 過 C 垂直於 AB：方向向量 (A.y - B.y, B.x - A.x)；
• 過 B 垂直於 AC：方向向量 (A.y - C.y, C.x - A.x)；
• 兩線交點即為垂心。

完整代碼

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct Point { double x, y; };
struct Line { Point a, b; };

Point intersection(Line u, Line v) {
    Point ret = u.a;
    double t = ((u.a.x - v.a.x)*(v.a.y - v.b.y) - (u.a.y - v.a.y)*(v.a.x - v.b.x))
             / ((u.a.x - u.b.x)*(v.a.y - v.b.y) - (u.a.y - u.b.y)*(v.a.x - v.b.x));
    ret.x += (u.b.x - u.a.x) * t;
    ret.y += (u.b.y - u.a.y) * t;
    return ret;
}

Point orthocenter(Point A, Point B, Point C) {
    Line l1, l2;
    l1.a = C;
    l1.b = { C.x - A.y + B.y, C.y + A.x - B.x }; // 旋轉 90°
    l2.a = B;
    l2.b = { B.x - A.y + C.y, B.y + A.x - C.x };
    return intersection(l1, l2);
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    int T; cin >> T;
    while (T--) {
        Point A, B, C;
        cin >> A.x >> A.y >> B.x >> B.y >> C.x >> C.y;
        Point H = orthocenter(A, B, C);
        cout << fixed << setprecision(4) << H.x << ' ' << H.y << '\n';
    }
    return 0;
}

複雜度

每測試用例 O(1)，純幾何計算，無數值穩定性問題。