C 語言遞迴求圓周率 π 至小數點後三位：無迴圈實現指南

題目需求

• 使用 C 語言遞迴函數計算 π
• 精度要求：小數點後 3 位（即 3.141 或 3.142）
• 禁止使用任何迴圈（for/while/do-while）

數學基礎：萊布尼茨級數

$$\pi = 4 \times \left(1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots \right) = 4 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1}$$

收斂較慢，需約 2000 項達到 1e-3 精度，遞迴深度可能超過堆疊限制。

改進算法：馬青公式

$$\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}$$

$$\arctan x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k x^{2k+1}}{2k+1}, \quad |x| \le 1$$

收斂極快，僅需 ~10 項即達 1e-15 精度，極適合遞迴實現。

完整 C 代碼實現

#include 
#include 

/* 遞迴計算 arctan(x) 級數前 n 項
   x: 角度值 (1/5 或 1/239)
   n: 當前項索引 (從 0 開始)
   max_n: 最大項數
   返回：級數和 */
double arctan_rec(double x, int n, int max_n) {
    if (n > max_n) return 0.0;
    double term = pow(-1, n) * pow(x, 2*n + 1) / (2*n + 1);
    return term + arctan_rec(x, n + 1, max_n);
}

int main() {
    const double x1 = 1.0/5.0;
    const double x2 = 1.0/239.0;
    const int terms = 10;  // 10 項足夠雙精度收斂

    double a1 = arctan_rec(x1, 0, terms);
    double a2 = arctan_rec(x2, 0, terms);
    double pi = 4 * (4 * a1 - a2);

    printf("π ≈ %.10f\n", pi);        // 3.1415926536
    printf("小數點後三位：%.3f\n", pi); // 3.142 (四捨五入)
    return 0;
}

關鍵點解析

1. 遞迴終止條件：n > max_n 返回 0，保證有限遞迴深度（此處 11 層）。
2. 無迴圈：全程使用遞迴替代疊代，符合題目限制。
3. 精度控制：terms=10 時誤差 < 1e-15，遠超 1e-3 需求。
4. 堆疊安全：遞迴深度僅 11，遠小於典型堆疊限制（~1e5）。

替代方案：遞迴實現蒙地卡羅法（教學用）

#include 
#include 

int hit_rec(int total, int hits, int n) {
    if (n == 0) return hits;
    double x = (double)rand() / RAND_MAX;
    double y = (double)rand() / RAND_MAX;
    return hit_rec(total, hits + (x*x + y*y <= 1.0), n - 1);
}

int main() {
    srand(time(NULL));
    const int N = 1000000;
    int hits = hit_rec(N, 0, N);
    double pi = 4.0 * hits / N;
    printf("Monte Carlo π ≈ %.5f\n", pi);
    return 0;
}

※ 蒙地卡羅法需大量遞迴（百萬層），實務上會棧溢位，僅供算法理解參考。

總結

採用 馬青公式 + 遞迴級數求和 是滿足「無迴圈、高精度、堆疊安全」的最佳解法。最佳回答雖提供參考連結，但未給出完整可編譯代碼，本文補全了工程級實現。