MATLAB 驗證數據指數關係：從線性假設到參數估計的完整流程

問題重述

已知 12 組 (X, Y) 數據，假設存在指數關係 y = a * exp(b * x)，如何編程驗證？

數學轉化：線性化處理

對數兩邊：ln(y) = ln(a) + b * x。令 Y' = ln(Y)、A = ln(a)，得線性模型 Y' = A + b * x。

MATLAB 實現步驟

1. 數據準備與預處理：

   X = [...]; Y = [...];  % 12 組數據
   Ylog = log(Y);        % 自然對數

2. 最小二乘擬合：

   p = polyfit(X, Ylog, 1);  % 一次多項式擬合
   b = p(1);                 % 斜率
   A = p(2);                 % 截距
   a = exp(A);               % 還原 a

3. 擬合優度評估：

   Yfit = a * exp(b * X);
   R2 = 1 - sum((Y - Yfit).^2) / sum((Y - mean(Y)).^2);  % 決定係數
   disp(['a = ', num2str(a), ', b = ', num2str(b), ', R² = ', num2str(R2)]);

4. 可視化驗證：

   figure;
   subplot(1,2,1); plot(X, Y, 'o', X, Yfit, '-'); legend('原始數據','擬合曲線');
   subplot(1,2,2); semilogy(X, Y, 'o', X, Yfit, '-');  % 半對數圖應近似直線

判斷標準

• R² > 0.95 且殘差無系統性分佈 → 強支持指數關係。
• 半對數圖（semilogy）呈直線 → 直觀確認。
• 若不滿足，嘗試冪函數 y = a*x^b（雙對數線性化）或多項式擬合。

進階：非線性最小二乘（無需線性化）

fun = @(p, x) p(1) * exp(p(2) * x);
p0 = [1, 0.1];  % 初始猜測
p_fit = lsqcurvefit(fun, p0, X, Y);  % 需優化工具箱
a = p_fit(1); b = p_fit(2);

直接擬合原始模型，避免對數變換放大小數據誤差，結果更魯棒。